Cho các số nguyên a1,a2,a3,...a2016 thỏa mãn: a12016 +a22016+...+a20162016 =20172016. Tìm chữ số tận cùng của a12021+a22021+...+a20162021
cho 2017 số nguyên a a1,a2,a3,..,a2017 có tổng bằng 0 và thỏa mãn a1+a2=a3+a4=a4+a5=..=a2015+a2016=a2017+a1=1 .tìm a1,a2,a2017
TK MÌNH ĐI MỌI NGƯỜI MÌNH BỊ ÂM NÈ!
AI TK MÌNH MÌNH TK LẠI CHO!
Cho 2016 số nguyên dương a1, a2, a3, ... , a2016 thỏa mãn 1/a1+1/a2+...+1/a2016=30 Chứng minh rằng trong 2016 số dã cho tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
cho 2016 số nguyên dương a1 ;a2;a3;.....2016 thỏa mãn 1/a1+1/a2+...+1/a2016 cmr tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
cho các số a1+a2=a2+a3=a3+a4=a4+a5=a5+a6=a6+a7=..=a2016+a2017
mà a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+...+a2016+a2017=4032 tìm các số a1,a2,a3,a4,a5,...,a2016,a2017
toi khong biet toi dang nho cac ban giai do ma
1) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 42019 +3n có chữ số tận cùng là 7
2) Tìm các bộ số tự nhiên (a1,a2,a3,...,a2019) thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}a1+a2+a3+...+a2019\ge2019^2\\a1^2+a2^2+a3^2+...+a2019^2\le2019^3+1\end{cases}}\)
bài 2
Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được
\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)
\(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)
Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)
*Nếu A = 0
Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)
Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)
*Nếu A = 1
\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)
Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0
Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019
Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)
Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)
Thử lại...(tự thử nhé)
Vậy...
Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4
Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3
Mà n là số tự nhiên nên n = 1
2. Chứng minh : Với n là số tự nhiên:
Ta chứng minh: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)
\(\text{Chứng minh quy nạp}\):
+) Với n=1, n=2 thỏa mãn
+)Giả sử đúng với n=k \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_k\)
+) Ta chứng minh đúng vs : \(n=k+1\)
Thật vậy: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2)+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac {A^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac {(A+a_{k+1})^2}{k+1} \)
\(\Leftrightarrow \left(k+1\right)A^2+k\left(k+1\right)a^2_{k+1}=k\left(A^2+2Aa_{k+1}+a^2_{k+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2+k^2a^2_{k+1}-2kAa_{k+1}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (A-ka_{k+1})^2\geq 0\) ( luôn đúng)
Do đó: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{k+1})^2}{k+1}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_{k+1}\)
Vậy: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)với mọi n là số tự nhiên
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)
\(\text {Quay lại bài Toán của chúng ta}\):
Vậy \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{2019}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)
=> \(2019^3+1\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)
Hay \(2019^4\leq (a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2\leq 2019^4+2019<(2019^2+1)^2\)
Suy ra \(a_1+a_2+a_3+...+a_n=2019^2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=a_3=...=a_n=2019\)
Cho các số nguyên a1;a2;a3;a3...;a2015 thỏa mãn a1 + a2 +a3 +... + a2015 = 0 và a1 + a2 = a3 + a4 = a2015 + a1 =1
tinh a1 ; a2015
Cho dãy số a1;a2;a3;...;a2016
Cho a2^2=a1.a3
a3^2=a2.a4
...
a2015^2=a2014.a2016
CMR:
\(\left(\frac{a1+a2+a3+...+a2015}{a2+a3+a4+...+a2016}\right)^{2016}=\frac{a1}{a2016}\)
cho các số nguyên a1 ; a2 ; a3 ; .... ; a2015 thỏa mãn a1 + a2 + a3 +...+ a 2015 = 0 và a1 + a2 = a3 + a4 = a2015 + a1 =1
tính a1 ; a2015
Có:
a1+a2=a3+a4=...=a2015+a1=1
=>a1+a2+a3+a4+...+a2014+a2015=1007+a2015
Mà 1007+a2015=0
=>a2015=-1007.
=>a1=1--1007
a1=1008.
Chúc học tốt^^
Có:
a1+a2=a3+a4=...=a2015+a1=1
=>a1+a2+a3+a4+...+a2014+a2015=1007+a2015
Mà 1007+a2015=0
=>a2015=-1007.
=>a1=1--1007
a1=1008.
Chúc học tốt^^
Có:
a1+a2=a3+a4=...=a2015+a1=1
=>a1+a2+a3+a4+...+a2014+a2015=1007+a2015
Mà 1007+a2015=0
=>a2015=-1007.
=>a1=1--1007
a1=1008.
Chúc học tốt^^
Tìm các số nguyên a(i) thỏa mãn: | a1 + a2 | + |a2 + a3| + |a3 + a4| + .... + | a(n) + a1 | = 2015
Đặt S= | a1 + a2 | + |a2 + a3| + |a3 + a4| + .... + | a(n) + a1 |
Ta có: S - 2.(a1+a2+...+a(n))= [| a1 + a2 | -(a1+a2)]+ [|a2 + a3| -(a2+a3)]+ [ |a3 + a4|-(a3+a4)] + .... +[ | a(n) + a1 | -(a(n)+a1)]
Mặt khác ta dễ dàng CM được: |A| - A luôn là một số chẵn nên|a(i)+a(j)|-[a(i)+a(j)] là một số chẵn.
nên S - 2.(a1+a2+...+a(n)) là một số chẵn mà 2.(a1+a2+...+a(n)) là một số chẵn =>S là một số chẵn.
So sánh ta thấy S là một số chẵn mà 2015 là một số lẻ.
Vậy không có các số nguyên a(i) thỏa mãn: | a1 + a2 | + |a2 + a3| + |a3 + a4| + .... + | a(n) + a1 | = 2015
Cho 2017 số nguyên a1;a2;....;a2016;a2017 có tổng bằng 0 thỏa mãn điều kiện: a1+a2=a3+a4=a5+a6=....=a2015+a2016=a2017+a1=1. Tìm a1;a2;a2017.