Giả sử ta có hai phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) 

Với \(a,b,c,d\in Z;b\ne0;d\ne0;\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)=1;\left(\left|c\right|;\left|d\right|\right)=1\)

Theo đề bài :

\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=m\left(m\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow ad+bc=m.bd\)( * )

\(\Rightarrow ad+bc⋮d\)

\(\Rightarrow bc⋮d\)

\(\Rightarrow b⋮d\) ( 1 ) 

( * ) \(\Rightarrow ad+bc⋮b\)

\(\Rightarrow ad⋮b\)

\(\Rightarrow d⋮b\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) 

\(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\) 

\(\Rightarrow\) đpcm 

Lấy VD cho dễ hiểu :

\(d⋮b\Rightarrow\left|d\right|\ge\left|b\right|\) ( 1 )

\(b⋮d\Rightarrow\left|b\right|\ge\left|d\right|\) ( 2 ) 

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) 

\(\Rightarrow\left|b\right|=\left|d\right|\)

\(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\) 

Gọi 2 phân số đó là \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) với \(\left(a;b\right)=1;\left(c;d\right)=1\)

Ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=x\left(x\in Z\right)\)

\(\frac{a}{b}.bd+\frac{c}{d}bd=xbd\)

\(\rightarrow ad+bc=xbd\)

\(\rightarrow\begin{cases}ad=xbd-bc=b\left(xd-c\right)\\bc=xbd-ad=d\left(xb-a\right)\end{cases}\)

Ta có : \(ad=b\left(xd-c\right)\rightarrow ad⋮b\)

Mà : \(\left(a;b\right)=1\) nên \(d⋮b\left(1\right)\)

Tương tự thì \(b⋮d\left(2\right)\)

Từ (1)(2) \(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\)

-> Điều phải chứng minh .

Xét 2 p/s tối giản \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{c}{d}\)với ( a,b) = 1 ; (c,d) = 1

Nếu \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=m\left(m\in Z\right)\)thì \(\frac{ad+bc}{bd}=m\Leftrightarrow ad+bc=mbd\left(1\right)\)

Từ (1) có : ad + bc \(⋮\)b và bc \(⋮\)b

           => ad \(⋮\)b vì (a,b)=1 => d \(⋮\)b (2)

Từ (2) có : ad + bc \(⋮\)d và ad \(⋮\)d

=> bc \(⋮\)d vì (c,d) = 1 => b \(⋮\)d (3)

Từ (2),(3) có :  b = d

=> KL :...