2. 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =(  x² + 3x ) (x² + 2x + x +2 )  +1 

= (  x² + 3x ) (x² +3x + 2 ) +1  (*)

Đặt t = x² + 3x  thì  (* ) =  t ( t+2 ) + 1=  t² + 2t +1  =  (t+1)²  = (x² + 3x + 1 )²

=>  x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1  là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp  cộng  1 là số chính phương 

Đặt 4 số tự nhiên liên tiếp là: n-1;n;n+1;n+2( n>0)

Ta có:

\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1=\left(n^2+n\right)\left(n^2+n-2\right)+1.\)

Gọi t = n²+n ta có:

\(t\left(t-2\right)+1=t^2-2t+1=\left(t-1\right)^2\)

                                                      \(=\left(n^2+n\right)^2\left(ĐPCM\right)\)

\(\text{Vậy ..........}\)

Gọi 4 stn liên tiếp là x;x+1;x+2;x+3 (x thuộc N)

Đặt A=\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=x\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+1\)

Đặt x²+3x+1=t, ta có:

\(A=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

=>đpcm

Gọi tích của 4 số tự nhiên đó là A .  

Ta có :

\(A+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương (đpcm)

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 , n + 4 ( \(n\inℕ\)) 

Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\) 

Giả sử A là một số chính phương .

Vì A là đa thức bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 nên ta có : 

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+an+b\right)^2\)

\(\Rightarrow n^4+6n^3+11n^2+6n+1=n^4+2an^3+\left(a^2+2b\right)n^2+2abn+b^2\)

Đồng nhất 2 vế ta được :

\(\hept{\begin{cases}2a=6;a^2+2b=11\\2ab=6;b^2=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=1\end{cases}}\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+3n+1\right)^2\forall n\). Ta có điều phải chứng minh.

QTV sai r nhé :))

Gọi 4 stn lt là \(a,a+1,a+2,a+3\left(a\inℕ\right)\)

Xét \(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)

\(=a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-1+1=\left(a^2+3a+1\right)^2\)(ĐPCM)

Ok để tí mình hỏi lại cô !

Gọi 4 số nguyên liên tiếp là n , n+1 , n+2 , n+3 

Ta có  :   \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\)là số chính phương  (đpcm)

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là \(n;n+1;n+2;n+3\left(n\in N\right)\)

Theo  bài ra ta có \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)+1\)

\(=n.\left(n+3\right).\left(n+1\right).\left(n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right).\left(n^2+3n+2\right)+1\)

Đặc \(n^2+3n=a\)

Khi đó ta có \(a.\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)là số chính phương

Vậy...

Cậu sai rồi: Tích của 4 số tự nhiên liếp cộng thêm 1 mới là số chính phương.

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là : k;k+1;k+2;k+3

Có k(k+1)(k+2)(k+3)+1

=k(k+3)(k+1)(k+2)+1

=(k²+3k)(k²+3k+2)+1

Đặt k²+3k=A

=A(A+2)+1

=A²+2A+1

=(A+1)²

ĐPCM

 ta có: (n-1)n(n+1)(n+2) +1=[n(n+1)][(n-1)(n+2)] +1 
=(n^2 +n)(n^2 +n -2) +1 (*) 
Đặt n^2 +n =a 
(*)<=> a(a-2) +1= a^2 -2a+1= (a-1)^2 là số chính phương 
=>điều phải chứng minh 

Tick nha Thanh Nguyễn Vinh

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là a-1;a;a+1;a+2

Theo đề ra ta có

\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1=\left[a\left(a+1\right)\right]\left[\left(a-1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+a\right)\left(a^2+a-2\right)+1\)

Đặt \(a^2+a-1=x\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1=x^2-1+1=x^2\)là số chính phương 

Vậy ...