Bài 1:

Giả sử có các số nguyên thỏa mãn các đẳng thức đã cho

Xét x³+xyz=x(x²+yz)=579 -->x lẻ.

Tương tự xét

y³+xyz=795; z³+xyz=975 ta đc: y,z là số lẻ

Vậy x³ là 1 số lẻ; xyz là 1 số lẻ, do đó x³+xyz là một số chẵn trái với đề bài

Vậy không tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn đẳng thức đã cho

Bài 2:

Ta có: VP=1984

Vì 2^x-2^y=1984>0 =>x>y

=>VT=2^x-2^y=2^y(2^x-y-1)

pt trở thành:

2^y(2^x-y-1)=2⁶*31 

\(\Rightarrow\begin{cases}2^y=2^6\left(1\right)\\2^{x-y}-1=31\left(2\right)\end{cases}\)

Từ pt (1) =>y=6

Thay y=6 vào pt (2) đc:

2^x-6-1=31 => 2^x-6=32

=>2^x-6=2⁵

=>x-6=5 <=>x=11

Vậy x=11 và y=6

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz})^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x+yz}+\sqrt{y}.\sqrt{y+xz}+\sqrt{z}.\sqrt{z+xy})^2\)

\(\leq (x+y+z)(x+yz+y+xz+z+xy)=xy+yz+xz+1\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}\leq \sqrt{xy+yz+xz+1}\)

\(\Rightarrow A\leq \sqrt{xy+yz+xz+1}+9\sqrt{xyz}\)

The BĐT AM-GM (Cô-si) thì:

\(1=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}\)

\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\Rightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{1}{3}+1}+9\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(A_{\max}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(ĐK:x,y,z\ne0\)

Đặt \(6\left(x-\frac{1}{y}\right)=3\left(y-\frac{1}{z}\right)=2\left(z-\frac{1}{x}\right)=xyz-\frac{1}{xyz}=a\)

\(\Rightarrow x-\frac{1}{y}=\frac{a}{6};y-\frac{1}{z}=\frac{a}{3};z-\frac{1}{x}=\frac{a}{2}\)\(\Rightarrow\frac{a^3}{36}=xyz-\frac{1}{xyz}-x+\frac{1}{y}-y+\frac{1}{z}-z+\frac{1}{x}=a-\frac{a}{6}-\frac{a}{3}-\frac{a}{2}=0\)suy ra a = 0

Nếu xyz = 1 thì x = y = z = 1 (thỏa mãn)

Nếu xyz = -1 thì x = y = z = -1 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y; z) là: (1; 1; 1),(-1; -1; -1).

Nhìn lozic qué bạn ey!!!