\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1^2\)

\(S=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right)\)

\(S=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

\(S=n\left(n+1\right)\left(n^2+2n-n-2\right)\)

\(S=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\right]\)

\(S=n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)

Dễ thấy S là tích của 4 số nguyên liên tiếp, do đó S chia hết cho 24 ( đpcm )

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

    \(=\left(n^2+n-1\right)^2-1^2\)

    \(=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right)\)

     \(=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

      \(=\left(n^2-n+2n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

        \(=\left[n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right)\right]\left(n+1\right).n\)

        \(=\left(n-1\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\)

          \(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Tích của 4 số liên tiếp luôn chia hết cho 24

\(\Rightarrow S⋮24\)

c) \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)Vì n nguyên

\(\Rightarrow-5n⋮5\left(đpcm\right)\)

a) \(\left(2n+3\right)^2-9\)

\(=\left(2n+3-3\right)\left(2n+3+3\right)\)

\(=2n\left(2n+6\right)\)

\(=4n\left(n+3\right)\)

Do \(n\in Z\Rightarrow n+3\in Z\)

\(\Rightarrow4n\left(n+3\right)⋮4\left(đpcm\right)\)

b) \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì \(n\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\in Z\\n+2\in Z\end{matrix}\right.\)

Mà n,n+1,n+2 là 3 sô nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮6\left(dpcm\right)\)

a) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12.2n\)

\(=24n\)

Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n

=> (n + 6)² - (n - 6)² chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)

b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

Thay n = 2k + 1 vào ta được

\(\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)\)

\(=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp

=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2

=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )

c) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\left(2n+2\right)\)

\(=4.2\left(n+1\right)\)

\(=8\left(n+1\right)\)

Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n

=> (n + 3)² - (n - 1)² chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )

Cách 1:Nếu biết dùng p2 quy nạp thì có 1 cách giải được bài này:
*với n=1 ta có :1.2.3 chia hết cho 6
*Giả sử với n=k mênh đề đúng: k(k+1)(2k+1) chia hết cho 6
-> với n=k+1 ta có: (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)
=(k+1)(k+2)(2k+3)
=2k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2) (1)
vi k(k+1)(K+2) chia hết cho 6 (ở trên)
và (k+1)(k+2) là hai số liên tiếp nên 3(k+1)(k+2) chia hết cho 6
=> (1) luôn chia hết cho 6
=> mênh đề đúng với mọi n thuộc Z

cách 2:
n(n+1)(2n+1)
=n(n+1)(n+2+n-1)
=n(n+1)(n+2) + (n-1)n(n+1) (2)
vì tích 3 số liên tiếp chia hết cho 6
từ (2) ta có tổng của hai số chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 6
=> biểu thức trên đúng với mọi n thuộc Z
Chúc sớm tìm được thêm nhiều lời giải nha!

bn ... ơi...mik ...bỏ...cuộc ...hu...hu

. Huhu T^T mong sẽ có ai đó giúp mình "((

Nếu n chia hết cho 3 => n^² chia hết cho 3 => A không chia hết cho 3

nếu A chia hết cho 3 dư 1 => n-1 chia hết cho A => A chia hết cho 3

Nếu n :3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => a chia hết cho 3 

                  Vậy A chia hết cho 3 với mọi n

đây ko phải bài lớp 4 đâu

Theo đề bài ta có :

\(\left(n^2+3n+1\right)^2-1=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

=> \(\left(n^2+3n+1\right)^2-1=n\left(n+3\right)\left(n^2+n+2n+2\right)\)

= \(n\left(n+3\right)\left(n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right)=n\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)\)

Ta Thấy :

\(n;n+1;n+2;n+3\)là 4 số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

=> \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮3\)

Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 4 vì có 2 số chẵn trong 4 số

=> \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮4\)

Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

=> \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮2\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮24\left(đpcm\right)\)