Cho a,b,c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge28\)
Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\(\frac{ab+bc+ca+1}{\left(a+b+c+1\right)^2}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: \(\left(ab+bc+ca+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\right)\ge\left(a+b+c+1\right)^2\)\(\left(ab+bc+ca+1\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+1\right)\ge\left(b+c+a+1\right)^2\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức này ta được \(\left(ab+bc+ca+1\right)\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge2\left(a+b+c+1\right)^2\)hay \(\frac{ab+bc+ca+1}{\left(a+b+c+1\right)^2}\ge\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đến đây, ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:\(\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\)\(\ge2\sqrt{\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.\frac{1}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}}\)\(=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2b^2c^2}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}}=\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)(*)
Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được \(\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra được \(\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1
Cho a,b,c là các số dương tùy ý, chứng minh rằng:
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\left[1+\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}}\right]\)
Đề sai. Nếu chỗ căn vế phải mà là căn bậc 3 thì t sol cho
Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng :
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\)
\(=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(Cauchy Schwars)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{2\left(c+a\right)}\)
\(\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{12\left(ab+bc+ca\right)}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)( rút gọn 12/4)
Bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
làm nốt cách nx
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng:\(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\ge28\)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b^2\left(ca+1\right)}+\frac{b}{c^2\left(ab+1\right)}+\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}\ge\frac{9}{\left(1+abc\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
làm sao mà \(x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\)lại luôn đúng
Cho a, b, c >0 . Chứng minh \(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\ge28\)
https://tranvantoancv.violet.vn/present/show/entry_id/10776977
Với x,y,z >0, ta có:
-\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) (1)
-\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (2)
-\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ge1\)(3)
Xảy ra đẳng thức ở (1),(2),(3) \(\Leftrightarrow x=y=z\), ta có:
\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a+b+c\right)^2.\frac{a+b+c}{abc}\)
=\(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right).\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}\)
Áp dụng các bất đẳng thức (1),(2),(3). ta có:
\(P\)\(\ge\)\(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right).\frac{9}{ab+bc+ca}+2.9\)
=\(\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)+8.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18\)\(\ge2+8+18=28\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ab=bc=ca\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
cho a,b,c >0. Chứng minh: \(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\ge28\)
đặt biểu thức là P
2P+1 =\(\frac{2ab+2bc+2ca}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)
\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\right).\)(1)
Áp dụng bdt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)dấu '=' khi x=y=z
(1) \(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{ab+bc+ca}\right)\)(2)
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}.\)
=> (2)\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{16}{ab+bc+ca}\right)=\)\(9+\frac{16\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9+16.3=57\)
vì a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca< =>a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> (a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
vậy 2P+1\(\ge57< =>P\ge28\)
dấu '=' khi a=b=c
Cho a,b,c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}\le1\)
\(\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2\sqrt{xy}-z}{z+2\sqrt{xy}}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{x+y+z}\right)\)
Tương tự \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)\);\(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{y}{x+y+z}\right)\)
Cộng vế theo vế ta được \(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\le\frac{1}{2}\left(3-1\right)=1\)