Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:

P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).

Bài 1 : a ) 

| 2x + 3 | = 5 

  2x          = 5 - 3 

  2x          = 2 

    x          = 2 : 2 

    x          = 1 

Cảm ơn bạn nhìu !

1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

4ac=2.b.2c≤2(b+2c2)2≤2(a+b+2c2)2=2.(12)2=12

⇒−4bc≥−12

⇒K=ab+4ac−4bc≥−4bc≥−12

Xét \(F+1=ab+bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow F+1=\left(a+c\right)^2+b\left(a+c\right)+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2+b\left(a+c\right)+b^2-F-1=0\left(6\right)\)

Ta coi (6) là pt bậc 2 ẩn \(t=\left(a+c\right)\)

Để (6) có nghiệm thì

\(\Delta=b^2-4.1.\left(b^2-F-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow F\ge-1+\frac{3}{4}b^2\ge-1\)

Dấu = khi b=0 và \(a=-c=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) 

1 bài cực trị hay i it :))

nãy là cách 1:

Cách 2: Từ \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow F=ab+bc+2ac=a^2+b^2+c^2+ab+bc+2ca-1\)

\(=\left[\left(a^2+2ac+c^2\right)+b\left(a+c\right)+\frac{b^2}{4}\right]+3\cdot\frac{b^2}{4}-1\)

\(=\left[\left(a+c\right)^2+b\left(a+c\right)+\frac{b^2}{4}\right]+3\cdot\frac{b^2}{4}-1\)

\(=\left[a+c+\frac{b}{2}\right]^2+3\cdot\frac{b^2}{4}-1\ge-1\)

Cách 3:Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\left(1\right)\)

\(\left(a+c\right)^2\ge0\left(2\right)\) và \(b^2\ge0\left(3\right)\)

Cộng theo vế (1),(2),(3) có:

\(\left(a+b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+2ac+c^2+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+2ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+2ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+2ca\right)\ge-\left(a^2+b^2+c^2\right)=-1\)

\(\Rightarrow F\ge-1\)

Lời giải:

Đặt $a+b+c=p; ab+bc+ac=q=1; abc=r$

$p,r\geq 0$

Áp dụng BĐT AM-GM: $p^2\geq 3q=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}$

$a,b,c\leq 1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow p+r\leq 2\Rightarrow p\leq 2$

$P=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+3}{a+b+c-abc}=\frac{(a+b+c)^2+1}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}$

Ta sẽ cm $P\geq \frac{5}{2}$ hay $P_{\min}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{p^2+1}{p-r}\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 2p^2-5p+2+5r\geq 0(*)$

---------------------------

Thật vậy:

Áp dụng BĐT Schur thì:

$p^3+9r\geq 4p\Rightarrow 5r\geq \frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3$

Khi đó:

$2p^2-5p+2+5r\geq 2p^2-5p+2+\frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3=\frac{1}{9}(2-p)(5p^2-8p+9)\geq 0$ do $p\leq 2$ và $p\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow (*)$ được CM

$\Rightarrow P_{\min}=\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và hoán vị

\(Q=ac+bc-2022ab\le ac+bc=c\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{4}\left(c+a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(Q_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\ab=0\\c=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right);\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(Q=c\left(a+b\right)-2022ab\ge c\left(a+b\right)-\dfrac{1011}{2}\left(a+b\right)^2\)

\(Q\ge c\left(1-c\right)-\dfrac{1011}{2}\left(1-c\right)^2\)

\(Q\ge c\left(1-c\right)-\dfrac{1011}{2}c\left(c-2\right)-\dfrac{1011}{2}\)

\(Q\ge\dfrac{c\left(1011+1013\left(1-c\right)\right)}{2}-\dfrac{1011}{2}\ge-\dfrac{1011}{2}\)

\(Q_{min}=-\dfrac{1011}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)