a) Ta có: HA = 2RcosA HB = 2RcosB HC = 2RcosC AB = 2RsinC AC = 2RsinB Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2RsinC + 2RsinB Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sinC + sinB > sin(A + B) = sinCOSA + cosCSINA = cosA + cosB Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Do đó, ta có HA + HB + HC < AB + AC. b) Ta có: AB + BC + CA = 2R(sinA + sinB + sinC) = 2R(sinA + sinB + sin(A + B)) = 2R(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) = 4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B) Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2332​ (4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B)) Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < 1166​(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sin(A + B) > sinC = sin(A + B/2 + B/2) = sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) Vậy ta có: 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B) < 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + sin(B/2)cos(A + B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2)) Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < 1166​(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) < 1166​(sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2))) Do đó, ta có HA + HB + HC < 2332​(AB + BC + CA).

Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

a) Qua H kẻ HG//AB  cắt AC tại G; kẻ HI//AC cắt AB tại I như hình vẽ.

=> HI vuông BH ; CH vuông HG

và AIHG là hình bình hành

Xét tam giác BHI vuông tại H => BH<BI ( mối quan hệ cạnh góc vuông và cạnh huyền) (1)

Xét tam giác CHG vuông tại H => CH<CG  

=> CH+BH + AH< BI+CG +AH 

Ta lại có AH <AI+IH (  bất đẳng thức trong tam giác AIH)

mà IH=AG ( AIHG là hình bình hành theo cách vẽ )

=> AH < AI+AG 

Vậy CH+BH+AH<BI+CG+AI+AG=AB+AC

b) Chứng minh AB+AC+BC>3/2 (HA+HB+HC) 

Chứng minh tương tự như câu a.

Ta có: \(AB+AC>HA+HB+HC\)

\(BC+AC>HA+HB+HC\)

\(AB+BC>HA+HB+HC\)

Cộng theo vế ta có:

\(2AB+2AC+2BC>3HA+3HB+3HC\)

=> \(2\left(AB+AC+BC\right)>3\left(HA+HB+HC\right)\)

=> \(AB+AC+BC>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)

Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC

−>AD=HE;AE=AH−>AD=HE;AE=AH

Theo BĐT trong tam giác :

AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD

xét ΔHDCΔHDC vuông tại H :HC<DCHC<DC

ΔBHEΔBHE vuông tại H : HB<BEHB<BE

−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC

chứng minh tương tự:

HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC 

HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC

K/h có : 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)

-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)

Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo đề bài và bài làm tại link này nhé!

a, Có : HA'/AA' = HA'.BC/AA'.BC = S AHB + S AHC / S ABC

Tương tự : HB'/BB' = S BHA + S BHC / S ABC ; HC'/CC' = S CHA + S CHB / S ABC

=> HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC' = 2.(S AHC + S AHB + S BHC)/S ABC = 2

Tk mk nha

a)

'

AA

'

HA

BC

'.

AA

.

2

1

BC

'.

HA

.

2

1

S

S

ABC

HBC





; (0,5đi

ể

m)

Tương t

ự

:

'

CC

'

HC

S

S

ABC

HAB



;

'

BB

'

HB

S

S

ABC

HAC



(0,5đi

ể

m)

1

S

S

S

S

S

S

'

CC

'

HC

'

BB

'

HB

'

AA

'

HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC













(0,5đi

ể

m)

b) Áp d

ụ

ng tính ch

ấ

t phân giác vào các tam giác ABC,

ABI, AIC:

AI

IC

MA

CM

;

BI

AI

NB

AN

;

AC

AB

IC

BI







(0,5đi

ể

m )

AM

.

IC

.

BN

CM

.

AN

.

BI

1

BI

IC

.

AC

AB

AI

IC

.

BI

AI

.

AC

AB

MA

CM

.

NB

AN

.

IC

BI











(0,5đi

ể

m )

Ban vao trang Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Củ Chi

Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!