Xét 2010 số tự nhiên được viết bởi toàn các chữ số 2

A1=2

A2=22

..................

A2010=222......22 (Gồm 2010 chữ số 2)

Giả sử không có số nào trong dãy số trên chia hết cho 2010 thì số dư của các số trên khi chia cho 2010 lần lượt là

1; 2; 3; .......;2009

Như vậy theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho 2010 có cùng số dư, giả sử là

An=222.....22 (có n chữ số 2)

Am=2222...22222 (có m chữ số 2)

Giả sử m>n thì Am-An=2222...000 (có m-n chữ số 2 và n chữ số 0) chia hết cho 2010 (dpcm)

Vì khi tồn tại 2 số mà khi chia cho cùng 1 số có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số đó

đúng đề

mặt nhăn não phẳng ngu ko tì vết !

đề đúng . Thuộc phần nguyên lí đi rích lê

vì số cuối là 0 còn bên kia là 5

vì 0 chia hết cho 5 nên 20 chia hết cho 2015

Mình cũng cần giúp, mong các bạn giúp đỡ mik và bạn Đinh Hà!

20 hay sao ay ban a

kb voi mk nha nha nha 

tk mk nha nha nha

mk se k va kb lai

Xét 2015 số: 

\(a_1=2\)

\(a_2=22\)

...

\(a_{2015}=222...2\)(2015 chữ số 2)

Nếu như có một trong 2015 số này chia hết cho 2015 thì bài toán được cm (do số đó chỉ gồm các chữ số 2

Nếu như không có số nào chia hết cho 2015, thì thì theo nguyên lí Dirichlet ít nhất 2 trong 2015 số này có cùng số dư khi chia 2015 (do chỉ có tối đa 2015 số dư từ 1 đến 2014). Hai số này chia hết cho 2015 do cùng số dư

Giả sử hai số đó là \(a_i\)và \(a_j\)(i<j)

\(\Rightarrow a_j-a_i=222...200...0\)(có i chữ số 0 và j-i chữ số 2) chia hết cho 2015

\(\Rightarrow\)đpcm

Chọn dãy

1; 11; 111; ... ;111...1 (số cuối có 20 c/s 1)

Chắc chắn trong dãy có 2 số có cùng số dư khi chia cho 19

2 số đó là

111..1(a c/s 1); 11..1(b c/s 1)                   [1< a < b < 20]

=>111..1 - 11..1 chia hết cho 19                                         [b c/s 1 - a c/s 1]

=>111...100...0 chia hết cho 19                                          [b - a c/s 1 ; a c/s 0]

=>11..1 x 10^a chia hết cho 19                                             [b-a c/s 1]

Mà (19;10)=1 =>(19;10^a)=1

=> 111..1 chia hết cho 19 với b-a c/s 1

Câu 3

Giả Sử: k = 4n

=>19⁴ⁿ - 1 = (...1) - 1 = (...0) chia hết cho 10

Vậy có thể tìm đc 1 STN k chia hết cho 10

xét dãy : 19¹,19²,...,19¹¹

các số tự nhiên khi chia cho 10 có 10 ước là: 0,1,2,..,9

Mà dãy số trên có 11 số nên tồn tại ít nhất 2 số tn có cùng số dư khi chia cho 10

gọi 2 số đó là:  19^m và 19ⁿ

(11>m>n>1 m,n=1)

19^m-19ⁿ chia hết cho 10

19ⁿ.(19^m-n -1) chia hết cho 10

mà (10,19)=1 (19ⁿ,10)=1

19^m-n-1 chia hết cho 10

19^k-1 chia hết cho 10 (k=m-n)

19^k-1 chia hết cho 10q

vậy tồn tại 1 số tn k sao cho 19^k-1 chia hết cho 10

Giả sử ta có 2010 số tự nhiên được tạo bởi toàn chữ số 2

2; 22; 222; ....; 222...22 (có 2010 chữ số 2)

2010 số tự nhiên trên khi chia cho 2010 sẽ có số dư nằm trong tập 1;2;3; ...; 2009. Theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số khi chia cho 2010 có cùng 1 số dư, giả sử 2 số đó là A=222...22 (có m chữ số 2) và B=222...22 (có n chữ số 2) giả sử m>n

=> A-B=222..2000..0 (có m-n chữ số 2 và n chữ số 0) chia hết cho 2010 (dpcm)