a) Tọa độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-x-7y=0\left(1\right)\\3x+4y-3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) => \(x=\dfrac{3-4y}{3}\) thay vào (1) ta được:

\(\left(\dfrac{3-4y}{3}\right)^2+y^2-\dfrac{3-4y}{3}-7y=0\)

<=> 16y²-24y+9+9y²-9+12y-63y=0

<=>25y²-75y=0

<=> y=0=>x=1

hoặc y=3=>x=-3

Gọi 2 giao điểm là M và N =>tọa độ M(1;0) và N(-3;3)

b) Viết lại phương trình (C): \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

=>tọa độ tâm I(0,5;3,5)

Gọi d₁,d₂ là các tiếp tuyến tại M và N

VTPT của d₁ là: \(\overrightarrow{IM}=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{2}\right)\) và M thuộc d₁

=> phương trình d₁: \(\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)-\dfrac{7}{2}y=0\)

hay d₁: x-7y-1=0

Bằng cách tính tương tự ta được phương trình tiếp tuyến d₂:

d₂:7x+y+18=0

c)Tọa độ giao điểm d₁ và d₂ là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-7y-1=0\\7x+y+18=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>tọa độ giao điểm là (-2,5;-0,5)

a, Bán kính: \(R=2\sqrt{545}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=2180\)

Giao điểm của \(\left(C\right);\left(d\right)\) có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y+5=0\\\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=2180\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3y-5\\\left(-3y-4\right)^2+\left(y-2\right)^2=2180\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

a, Bán kính: \(R=2\sqrt{5}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=20\)

Giao điểm của d và (C) có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=20\\x+3y+5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3y+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=20\\x=-3y-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10y^2+20y=0\\x=-3y-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\left(0;-5\right)\\N=\left(-2;1\right)\end{matrix}\right.\) là các giao điểm

b, Gọi H là trung điểm AB.

Đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với d nên có phương trình dạng: \(3x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}.R^2.sinAIB=10.sinAIB=5\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow sinAIB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Mà tam giác ABC tù nên \(\widehat{AIB}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HBI}=30^o\)

Khi đó: 

\(IH=d\left(I;\Delta\right)\)

\(\Leftrightarrow R.sinHBI=\dfrac{\left|-3-2+m\right|}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{5}.sin30^o=\dfrac{\left|m-5\right|}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow m=5\pm5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:3x-y+5+5\sqrt{2}=0\\\Delta:3x-y+5-5\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

A nhé

hihhihihiihihihhiihhiihihihih

\(a,PTHDGD:2x-1=-x+2\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=1\Leftrightarrow M\left(1;1\right)\\ b,\text{Gọi đt của }\left(d\right)\text{ là }y=ax+b\left(a\ne0\right)\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\0a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(d\right):y=-3x+4\)