Đặt \(f\left(x\right)=x^{1996}+x^{196}+x^{19}+x+1\)

Vì đa thức chia là một đa thức bậc hai nên số dư của f(x) khi chia cho (1-x²) sẽ là một đa thức bậc nhất.

Ta có : \(f\left(x\right)=x^{1996}+x^{196}+x^{19}+x+1\)

\(=\left(x^{1996}-x^4\right)+\left(x^{196}-x^4\right)+\left(x^{19}-x^3\right)+\left(2x^4-2\right)+\left(x^3-x\right)+\left(2x+3\right)\)

\(=-x^4\left[1-\left(x^4\right)^{498}\right]-x^4\left[1-\left(x^4\right)^{48}\right]-x^3\left[1-\left(x^4\right)^4\right]-2\left(1-x^4\right)-x\left(1-x^2\right)+\left(2x+3\right)\)

\(=-x^4\left(1-x^4\right).A\left(x\right)-x^4\left(1-x^4\right).B\left(x\right)-x^3\left(1-x^4\right).C\left(x\right)-2\left(1-x^4\right)-x\left(1-x^2\right)+\left(2x+3\right)\)

\(=-x^4\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right).A\left(x\right)-x^4\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right).B\left(x\right)-x^3\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right).C\left(x\right)-2\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)-x\left(1-x^2\right)+\left(2x+3\right)\)

\(=\left(1-x^2\right)\left[-x^4\left(1+x^2\right).A\left(x\right)-x^4\left(1+x^2\right).B\left(x\right)-x^3\left(1+x^2\right).C\left(x\right)-2\left(1+x^2\right)-x\right]+\left(2x+3\right)\)

Dễ thấy \(\left(1-x^2\right)\left[-x^4\left(1+x^2\right).A\left(x\right)-x^4\left(1+x^2\right).B\left(x\right)-x^3\left(1+x^2\right).C\left(x\right)-2\left(1+x^2\right)-x\right]⋮\left(1-x^2\right)\) và (2x+3) không chia hết cho (1-x²)

Do đó phần dư của f(x) cho (1-x²) chính là 2x+3

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>ƒ (x)=x1996+x196+x19+x+1

Vì đa thức chia là một đa thức bậc hai nên số dư của f(x) khi chia cho (1-x²) sẽ là một đa thức bậc nhất.

Ta có : ƒ (x)=x1996+x196+x19+x+1

=(x1996−x4)+(x196−x4)+(x19−x3)+(2x4−2)+(x3−x)+(2x+3)

=−x4[1−(x4)498]−x4[1−(x4)48]−x3[1−(x4)4]−2(1−x4)−x(1−x2)+(2x+3)

=−x4(1−x4).A(x)−x4(1−x4).B(x)−x3(1−x4).C(x)−2(1−x4)−x(1−x2)+(2x+3)

=−x4(1−x2)(1+x2).A(x)−x4(1−x2)(1+x2).B(x)−x3(1−x2)(1+x2).C(x)−2(1−x2)(1+x2)−x(1−x2)+(2x+3)

=(1−x2)[−x4(1+x2).A(x)−x4(1+x2).B(x)−x3(1+x2).C(x)−2(1+x2)−x]+(2x+3)

Dễ thấy (1−x2)[−x4(1+x2).A(x)−x4(1+x2).B(x)−x3(1+x2).C(x)−2(1+x2)−x]⋮(1−x2) và (2x+3) không chia hết cho (1-x²)

Do đó phần dư của f(x) cho (1-x²) chính là 2x+3

Lời giải:

$x^{99}+x^{55}+x^n+x-7=(x^{99}+x)+(x^{55}+x)+x^n-x-7$

$=x(x^{98}+1)+x(x^{54}+1)+x^n-x-7$

Hiển nhiên: $x^{98}+1=(x^2)^{49}+1\vdots x^2+1$

$x^{54}+1=(x^2)^{27}+1\vdots x^2+1$

Xét các TH sau:

TH1: $n=4k$ thì $x^n-1=x^{4k}-1\vdots x^4-1\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-x-6$

TH2: $n=4k+1$ thì $x^{n}-x=x(x^{4k}-1)\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-7$

TH3: $n=4k+2$ thì: $x^n+1=x^{4k+2}+1=(x^2)^{2k+1}+1\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-x-8$

TH4: $n=4k+3$ thì $x^n+x=x^{4k+3}+x=x(x^{4k+2}+1)\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-2x-7$

Lấy ví du về vật có thế năng hấp dẫn so với mặt đất

\(A\left(x\right)=x^{19}+x^5+x^{1996}.\)

\(Q\left(x\right)=x^2-1\)

Phép chia có dư 

=> \(A\left(x\right)=Q\left(x\right)+r\)

\(x^{19}+x^5-x^{1995}=x^2-1+r\)

Với x=1 => \(1+1-1=1-1+r\)\(\Rightarrow r=1\)

Với x=-1 => \(-1+-1-\left(-1\right)=1-1+r\Rightarrow r=-1\)

Vậy số dư của phép chia đó là 1,-1

đây là định bí Bơ Du nha bạn

Gọi thương của phép chia  \(x^{19}+x^5-x^{1995}\) cho   \(x^2-1\)là  \(A\left(x\right)\)và số dư là  \(ax+b\)  (do đa thức chia bậc 2)

Ta có:    \(f\left(x\right)=x^{19}+x^5-x^{1995}=\left(x^2-1\right)A\left(x\right)+ax+b\)

                                                                  \(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)A\left(x\right)+ax+b\)

Do đa thức trên luôn đúng với mọi x nên lần lượt thay \(x=1;\)\(x=1\)ta được:

\(\hept{\begin{cases}a+b=1\\-a+b=-1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}}\)

Vậy đa thức dư là  \(x\)