Theo định lý py ta go ta có :

\(NI^2=MN^2+MI^2\)

\(NI^2=6^2+8^2\)

\(NI^2=100\)

\(\Rightarrow NI=10cm\)

b )

Xét \(\Delta DMI\) và \(DEI\) có :

\(DMI=DEI\left(90\right)\)

\(DI\) cạnh chung

\(I_1=I_2\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow DM=DE\) ( 2 cạnh t ứng )

a) \(\Delta MNI\) vuông tại M, theo định lí Py-ta-go

Ta có: NI² = MN² + MI²

NI² = 6² + 8²

NI² = 100

\(\Rightarrow NI=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\).

b) Xét hai tam giác vuông MID và EID có:

ID: cạnh huyền chung

\(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\left(gt\right)\)

Vậy: \(\Delta MID=\Delta EID\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: DM = DE (hai cạnh tương ứng).

c) Ta có: MI = EI (\(\Delta MID=\Delta EID\))

\(\Rightarrow\) \(\Delta MIE\) cân tại I

\(\Rightarrow\) ID là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của ME (1)

Ta lại có: hai đường cao MN và AE cắt nhau tại D

\(\Rightarrow\) D là trực tâm của \(\Delta ANI\)

\(\Rightarrow\) ID là đường cao còn lại của \(\Delta ANI\) hay ID \(\perp\) AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AN // EM (đpcm).

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, không đúng với số liệu đã cho)

a)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác MNI, có:

\(NI^2=MN^2+MI^2\)

\(\Rightarrow NI^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow NI=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

b)

Xét \(\Delta DMI\) và \(\Delta DEI\), có:

\(\widehat{DMI}=\widehat{DEI}=90^0\)

DI là cạnh chung

\(\widehat{MID}=\widehat{EID}\) (ID là tia phân giác của \(\widehat{MIN}\))

\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow DM=DE\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

Xét \(\Delta DAM\) và \(\Delta DNE\), có:

\(\widehat{DMA}=\widehat{DEN}=90^0\)

\(DM=DE\) (\(\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\widehat{ADM}=\widehat{EDM}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta DAM=\Delta DNE\) (cạnh góc vuông_góc nhọn kề)

\(\Rightarrow AM=NE\) (Hai cạnh tương ứng)

Mà \(IM=IE\) (\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\Leftrightarrow AM+IM=NE+IE\)

Hay \(IA=IN\)

\(\Rightarrow\Delta IAN\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IAN}=\dfrac{180^0-\widehat{AIN}}{2}\) (1)

Lại có: \(IM=IE\) (\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\Rightarrow\Delta IEM\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IME}=\dfrac{180^0-\widehat{AIN}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{IME}\)

\(\Rightarrow\) AN // EM ( Vì có hai góc đồng vị bằng nhau)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt!

bạn vẽ hình ra đi

Xét tam giác AMN có góc MAN = 120⁰ suy ra tam giác AMN cân tại A

suy ra góc AMN=góc ANM = 30⁰

Xét tam giác AHM và tam giác AHN

có AH chung

góc AHM = góc AHN = 90⁰

AM=AN (vì tam giác AMN cân tại A)

suy ra tam giác AHM = tam giác AHN ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

suy ra góc MAH=góc HAN (hai góc tương ứng)

suy ra AH là tia phân giác của góc MAN

b) Xét tam giác vuong AHD và tam giác vuông AhE

có AH chung

góc hAD=góc HAE (CMT)

suy ra tam giác AHD =  tam giác  AHE ( cạnh huyền-góc nhọn)  (1)

suy ra AD=AE suy ra tam giác ADE cân tại A

suy ra góc ADE=góc AED=30⁰

suy ra góc ADE = góc AMN = 30⁰

mà góc ADE đồng vị với góc AMN

suy ra DE//MN

c)  tam giác HEN vuông tại E suy ra góc EHN = 60⁰

tam giác HDM vuông tại D suy ra góc DHM = 60⁰

mà góc DHM + góc DHE + góc EHN = 180⁰

suy ra góc DHE = 60⁰   (2) 

Từ (1) suy ra DH = HE suy ra tam giác DHE cân tại H  (3)

Từ (2) và (3) suy ra tam giác DHE đều

d) Xét tam giác MIN vuoog tại N suy ra góc NIM = 60⁰

góc IAN kề bù với góc NAM

suy ra góc NAI = 60⁰

tam giác ANI có góc AIN=góc ANI=góc IAN = 60⁰

suy ra tam giác ANI đều

suy ra AI = NI = 10cm