\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên
Bài 1:
a. Chứng minh \(\frac{B}{A}\)là một số nguyên, biết rằng:
A =\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}\)và B =\(\frac{2012}{1}+\frac{2011}{2}+\frac{2010}{3}+...+\frac{1}{2012}\)
\(\frac{B}{A}=\frac{\frac{2012}{1}+\frac{2011}{2}+\frac{2010}{3}+...+\frac{1}{2012}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}}\)
\(=\frac{\left(\frac{2011}{2}+1\right)+\left(\frac{2010}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2012}+1\right)+1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}}\)
\(=\frac{\frac{2013}{2}+\frac{2013}{3}+\frac{2013}{4}+....+\frac{2013}{2012}+\frac{2013}{2013}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2013}}\)
\(=\frac{2013\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2013}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}}=2013\)
Câu 1: Cho A= \(\frac{3}{4}\)+\(\frac{8}{9}\)+\(\frac{15}{16}\)+...........+\(\frac{9999}{10000}\). Chứng tỏ A không phải là số nguyên.
Câu 2: a) Tính nhanh: M=\(\frac{2}{3.5}\)+\(\frac{2}{5.7}\)+\(\frac{2}{7.9}\)+................+\(\frac{2}{97.99}\).
b) Cho A= \(\frac{1}{2^2}\)+ \(\frac{1}{3^2}\)+ \(\frac{1}{4^2}\)+...............+ \(\frac{1}{2010^2}\)+\(\frac{1}{2011^2}\)+\(\frac{1}{2012^2}\)
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
ĐANG CẦN GẤP, MỌI NGƯỜI GIÚP MK NHA.
Câu 1 :
Ta có :
\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)
\(A=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{10000-1}{10000}\)
\(A=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{100^2-1}{100^2}\)
\(A=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{100^2}{100^2}-\frac{1}{100^2}\)
\(A=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{100^2}\)
\(A=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Do từ \(2\) đến \(100\) có \(100-2+1=99\) số \(1\) nên :
\(A=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< 99\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\) lại có :
\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(B< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(B< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(A=99-B>99-1=98\)
\(\Rightarrow\)\(A>98\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(98< A< 99\)
Vậy A không phải là số nguyên
Chúc bạn học tốt ~
Bài 2 a) \(\Rightarrow M=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}=\frac{1}{3}-\frac{1}{99}\)
\(=\frac{31}{99}\)
Câu 2:a, M= \(\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\frac{2}{7.9}+....+\)\(\frac{2}{97.99}\)
=\(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-...+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}\)
=\(\frac{1}{3}-\frac{1}{99}\)=\(\frac{32}{99}\)
a)Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 dư 4, chia cho 7 dư 5, chia cho 11
dư 6 ?
b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1\)
a )
Theo bài ra: (a - 4) chia hết cho 5 => (a - 4) + 20 chia hết cho 5 => a + 16 chia hết cho 5
(a - 5) chia hết cho 7 => (a - 5) + 21 chia hết cho 7 => a + 16 chia hết cho 7
(a - 6) chia hết cho 11 => (a - 6) + 22 chia hết cho 11 => a + 16 chia hết cho 11
=> a + 16 thuộc BC(5; 7; 11)
Mà BCNN(5; 7; 11) = 385
=> a + 16 thuộc B(385) = {0; 385; 770; ...}
=> a thuộc {-16; 369; 754;...}
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất
=> a = 369
b ) \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}< \frac{1}{2.3}\)
.....................
\(\frac{1}{2012^2}=\frac{1}{2012.2012}< \frac{1}{2011.2012}\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.< \frac{2011}{2012}\)
Mà \(\frac{2011}{2012}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1\)
\(b)\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)
\(< \)\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{2010.2011}+\frac{1}{2011.2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2012}\)\(=\frac{2011}{2012}< 1\)
Vậy Biểu thức \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)\(< 1\)
\(a)\)
Theo bài ra: \(\left(a-4\right)⋮5\Rightarrow\left(a-4\right)+20⋮5\Rightarrow a+16⋮5\)
\(\left(a-5\right)⋮7\Rightarrow\left(a-5\right)+21⋮7\Rightarrow a+16⋮7\)
\(\left(a-6\right)⋮11\Rightarrow\left(a-6\right)+22⋮11\Rightarrow a+16⋮11\)
\(\Rightarrow\) \(a+16\in BC\left(5;7;11\right)\)
Mà \(BCNN\left(5;7;11\right)=385\)
\(\Rightarrow\) \(a+16\in B\left(385\right)=\left\{0;385;770;...\right\}\)
\(\Rightarrow\) \(a\in\left\{-16;369;754;...\right\}\)
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất \(\Rightarrow\) \(a=369\)
Chứng minh rằng:
S = \(1+\frac{1}{2^2^{ }}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}\)không phải là số tự nhiên
\(S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{1012^2}\)
\(S=1+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{1024144}\right)\)
\(S=1+\left(\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{3\cdot3}+...+\frac{1}{2012\cdot2012}\right)\)
\(S=1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2012}\right)\)
\(S=1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2012}\right)\)
\(S=1+\frac{1005}{2012}\)
\(S=\frac{3017}{2012}\)
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên
A= \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+......+\frac{1}{100^2}\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}>0\)
\(\frac{1}{3^2}>0\)
................
\(\frac{1}{100^2}>0\)
\(\Rightarrow A>0\left(1\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
...................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< A< 1\)
Vậy A ko là STN.
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
...
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=1-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{99}{100}< 1\)
Vậy A không phải là một số tự nhiên
Chứng tỏ rằng A<1 biết
A=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}...+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}<1\)
cho A =\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{2012}\)
CHỨNG MINH A KHÔNG PHẢI LÀ SỐ TỰ NHIÊN
chứng tỏ rằng : S= \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}\) không phải là số tự nhiên
\(S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}\)
\(< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)
\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(=2-\frac{1}{2012}< 2\)
mà \(S>1\)
do đó ta có đpcm.
A có chia hết cho 3 không?
\(A=\frac{2012+\frac{2011}{2}+\frac{2010}{3}+\frac{2009}{4}+...+\frac{1}{2012}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2013}}\)
Xét tử:
\(2012+\frac{2011}{2}+\frac{2010}{3}+\frac{2009}{4}+...+\frac{1}{2012}\)
= \(\left(1+\frac{2011}{2}\right)+\left(1+\frac{2010}{3}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2012}\right)+1\)
= \(\frac{2013}{2}+\frac{2013}{3}+...+\frac{2013}{2012}+\frac{2013}{2013}\)
= \(2013\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}\right)\)
Thay vào ta có:
A = \(\frac{2013\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2013}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}}\)
=> A = 2013
Mà 2013 chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3