Điểm O là điểm nào bạn?

Lời giải:

a) 

Xét tam giác $BAD$ và $ADC$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=90^0$

$\frac{AB}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{AD}{DC}$

$\Rightarrow \triangle BAD\sim \triangle ADC$ (c.g.c)

b) Cho $O$ là giao $AC$ và $BD$

Từ tam giác đồng dạng p.a suy ra:

$\widehat{ABD}=\widehat{DAC}$

$\Leftrightarrow \widehat{ABO}=\widehat{DAO}=90^0-\widehat{BAO}$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{BAO}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=90^0$

$\Rightarrow AC\perp BD$ (đpcm)

c) 

Theo định lý Talet:

$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow OA=\frac{4}{9}OC; OB=\frac{4}{9}OD$

\(\frac{S_{AOB}}{S_{COD}}=\frac{OA.OB}{OC.OD}=\frac{\frac{4}{9}OC.\frac{4}{9}OD}{OC.OD}=\frac{16}{81}\)

Hình vẽ:

Áp dụng HTL:

\(BH^2=DH\cdot HC=48\Leftrightarrow BH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Dễ thấy ABHD là hcn nên \(BH=AD=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Ta có:

\(\tan\widehat{ABD}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}=\tan60^0\\ \Leftrightarrow\widehat{ABD}=60^0\\ \Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=60^0+90^0=150^0\)

Do tứ giác ABCD là hình thang vuông nên D ^ = 90 ° . Suy ra, tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ACD vuông tại D ta có:

A C 2 = A D 2 + D C 2 = 3 2 + 4 2 = 25

Suy ra A C = 5 c m

Chọn đáp án D.