1.Gộp 3 số vào thành 1 tổng rồi tính:

(1+2^1+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+....+(2^37+2^38+2^39)

=1*(1+2^1+2^2)+2^3*(1+2^1+2^2)+....+2^37*(1+2^1+2^2)

=1*15+2^3*15+...+2^37*15

=15*(1+2^3+...+2^39) chia hết cho 15

\(x+2y⋮5\)

\(\Rightarrow3x+6x⋮5\)

\(\Rightarrow3x+6y+10y=3x+16y\) 

\(3x+6y+10y⋮5\)

Vậy 3x + 16y chia hết cho 5

\(x+2y\) chia hết cho 5

\(\Rightarrow3x+6y\) chia hết cho 5

\(\Rightarrow3x+6y+10y\) chia hết cho 5

\(\Rightarrow3x+16y\) chia hết cho 5 (đpcm)

P= 5¹+5²+5³+..........+5⁹⁸+5⁹⁹+5¹⁰⁰

P= (5¹+5²)+(5³+5⁴)+..........+(5⁹⁹+5¹⁰⁰)

P= (5¹+5²)(1+5²+..........+5⁹⁷+5⁹⁸+5⁹⁹)

P=30.(1+5²+..........+5⁹⁷+5⁹⁸+5⁹⁹)chia hết cho 30

con chia het cho 126 ban lam tuong tu nhung (5¹+5²) bang (5¹+5²+5³+5⁴+5⁵+5⁶)roi lam tuong tu

a)\(P=5^1+5^2+5^3+...+5^{98}+5^{99}+5^{100}\)

=>\(P=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{97}+5^{98}\right)+\left(5^{99}+5^{100}\right)\)

=>\(P=30+5^2\left(5+5^2\right)+...+5^{96}\left(5+5^2\right)+5^{98}\left(5+5^2\right)\)

=>\(P=30+5^2.30+...+5^{96}.30+5^{98}.30\)

=>\(P=30\left(1+5^2+...+5^{96}+5^{98}\right)\)chia hết cho 30

Vậy P chia hết cho 30 (đpcm)

b) chứng minh tương tự câu a

c) P chia hết cho 30 => P có tận cùng là 0

Chia tổng trên thành 16 nhóm, mỗi nhóm 6 số hạng ta có:

S=(5+52+53+54+55+56)+56(5+52+53+54+55+56)+...+590(5+52+53+54+55+56)

=(5+52+53+54+55+56)(1+56+...+590)

Ta có 
5+52+53+54+55+56=5(1+53)+52(1+53)+53(1+53)=126(5+52+53)⋮126

→S⋮126 (ĐPCM)

= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 5 mà 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5. 
=> a^5 - a chia hết cho 5 
Mà a^5 chia hết cho 5 => a chia hết cho 5. 
( Nếu a không chia hết cho 5 thì a^5 - a không chia hết cho 5 vì a^5 chia hết cho 5) 

b) Chứng minh rằng nếu (5n + 1) là số chẵn thì n là số lẻ. 
Giải: Nếu 5n + 1 là số chẵn thì => 
5n + 1 có dạng 2k (k là số tự nhiên) 
=> 5n + 1 = 2k 
=> 5n = 2k - 1 
Do 2k - 1 là số lẻ => 5n là số lẻ (1) 
Nếu n là số chẵn thì 5n chẵn => mâu thuẩn với (1) 
=> n phải là số lẻ

đúng đấy