1.Áp dụng định lý Fermat nhỏ.

1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)

và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

=> \(a^5-a⋮5\)

Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5

Cách 2

\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Do a nguyên nên a có 5 dạng:\(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)

Nếu \(a=5k\Rightarrow a^5-a=5k\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+1\Rightarrow a^5-a=a\cdot5k\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+2\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+20k+5\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+3\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+30k+10\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+4\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(5k+5\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Vậy \(a^5-a⋮5\)

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên

2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

(n+1)+(2n+1)=3n+2

Ta thấy

3n+2≡2(mod3)

Suy ra

(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó: n⋮3

Vậy ta có đpcm.

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24

Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ

⇒2n+1=1(mod8)⇒2n+1=1(mod8)

=> n ⋮⋮ 4

=> n chẵn

=> n+1 cũng là số lẻ

⇒n+1=1(mod8)⇒n+1=1(mod8)

=> n ⋮⋮ 8

Mặt khác :

3n+2=2(mod3)3n+2=2(mod3)

⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ

⇒n+1=2n+1=1(mod3)⇒n+1=2n+1=1(mod3)

=> n chia hết cho 3

Mà ( 3 ; 8 ) = 1

=> n chia hết cho 24

 Bạn tham khảo: !!!

Vì 2n-1 là số chính phương. Mà 2n-1 lẻ

\(\Rightarrow2n+1=1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow n⋮4\)

\(\Rightarrow\)n chẵn

\(\Rightarrow n+1\)lẻ

\(\Rightarrow n+1=1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow n⋮8\)

  Mặt khác

\(3n+2=2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=2\left(mod3\right)\)

Mà n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương lẻ

\(\Rightarrow n\text{+}1=2n\text{+}1=1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow n⋮3\)

    Mà (3:8)=1

\(\Rightarrow n⋮24\)

a. Vì n thuộc N* nên ta xét 2 trường hợp sau:

+ Nếu n là số lẻ => n+1 là số chẵn

                          => n+1 chia hết cho 2

                          => (n+1)(3n+2)  chia hết cho 2

                          => (n+1)(3n+2) là một số chẵn

+ Nếu n là số chẵn => 3n là số chẵn

                               => 3n+2 là một số chẵn

                               => 3n+2 chia hết cho 2

                               =>(n+1)(3n+2)  chia hết cho 2

                               => (n+1)(3n+2) là một số chẵn

Vậy với n thuộc N* , (n+1)(3n+2) là một số chẵn

b, Vì 6x+11y chia hết cho 31

=> 6x+11y + 31y chia hết cho 31 (Vì 31y chia hết cho 31)

=> 6x+42y chia hết cho 31

=>6.(x + 7y) chia hết cho 31

=>x+7y chia hết cho 31 (Vì (6,31) = 1)

Vậy x,y thuộc Z , nếu 6x+11y chia hết cho 31 thì x+7y cũng chia hết cho 31

Ta thấy: (n,6)=1

=> n lẻ, đặt: n=2k+1

=> (n-1)(n+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k.2(k+1)=4k(k+1)

Ta thấy: k(k+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => (n-1)(n+1) \(⋮\)8

Do (n,6)=1

=> n không chia hết cho 3:

=> n=3k+1 hoặc n=3k-1

Nếu n=3k-1 => n+1 \(⋮\)3

Nếu n=3k+1 => n-1\(⋮\)3

Vậy (n-1)(n+1) \(⋮\)3 với mọi n

Mà (3,8)=1

=> (n-1)(n+1)\(⋮\)3.8=24 (ĐPCM)

ĐPCM l j vậy ạ

Ta có: 3x-4y 

          = x-6y+6y-+4y

          = 3.(x+2y)-10y

Mà: 10 chia hết cho 5 => 10y chia hết cho 5

       3 không chia hết cho 5 => 9x+2y0 chia hết cho 5 (1)

Ta có: x+2y

          =x+2y+5x-10y-5x+10y

          = 6x-8y-5.(x+2y)

Mà: 5 chia hết cho 5 => 5(x+2y) chia hết cho 5

      2 không chia hết cho 5 => (3x-4y) chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => x+2y <=> 3x -4y

Vậy ; x+2y <=> 3x-4y

ban gioi wa.cam on

mk cung dang mac bai nay nen mong nhieu bn giup do chi nha !

Đang định hỏi thì ....