chứng minh \(\sqrt{2x+1}\)là số vô tỉ

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a^3}{a^2+b^2+ab}=\frac{a^4}{a\left(a^2+b^2+ab\right)}=\frac{a^4}{a^3+ab^2+a^2b}=\frac{a^4}{a^3+ab\left(a+b\right)}\\\frac{b^3}{b^2+c^2+bc}=\frac{b^4}{b\left(b^2+c^2+bc\right)}=\frac{b^4}{b^3+bc^2+b^2c}=\frac{b^4}{b^3+bc\left(b+c\right)}\\\frac{c^3}{c^2+a^2+ca}=\frac{c^4}{c\left(c^2+a^2+ca\right)}=\frac{c^4}{c^3+ca^2+c^2a}=\frac{c^4}{c^3+ca\left(c+a\right)}\end{cases}}\)

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành :

\(\frac{a^4}{a^3+ab\left(a+b\right)}+\frac{b^4}{b^3+bc\left(b+c\right)}+\frac{c^4}{c^3+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)

Dễ dàng phân tích \(a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=> \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

Xét bất đẳng thức phụ : 3( a² + b² + c² ) ≥ ( a + b + c )²

<=> 3a² + 3b² + 3c² - a² - b² - c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² ≥ 0 ( đúng )

Khi đó áp dụng vào bài toán ta có : \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

bài này mới được thầy sửa hồi chiều nè @@

Vì a,b dương => ( a + b ) ( a - b )² \(\ge\)0 => a³ + b³ \(\ge\)ab ( a + b )

BĐT tương đương với 3a³\(\ge\)2a³ + 2ab ( a + b ) - b³ = 2a³ + 2a²b + 2ab² - a²b - ab² - b³ = ( a² + ab + b³ ) ( 2a - b )

Suy ra : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2a-b}{3}\)(1)

Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b-c}{3}\)(2) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c-a}{3}\)(3)

Từ (1) ; (2) và (3) => \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)(đpcm)

cách ít lòng vòng hơn cách của quỳnh nhiều nè 

Ta có đẳng thức sau : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)( cách cm thì chỉ cần chuyển vế rồi dùng hđt thôi)

Khi đó : \(2VT=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức phụ \(\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(x+y\right)\)có : ( biến đổi tương đương là được nhé )

\(2VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)+\frac{1}{3}\left(b+c\right)+\frac{1}{3}\left(c+a\right)=\frac{1}{3}.2.\left(a+b+c\right)\)

\(< =>VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

ta có 

A=\(\frac{a^4}{ab^2+abc+c^2a}+\frac{b^4}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^4}{ca^2+abc+cb^2}\)

>=\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab^2+a^2b+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2+3abc}\) =\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\) (Đấy  là bđt svacxơ nhé )

ta cần chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)

   điều này luôn đúng vì dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca;\)

                                               và \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\)

đến đây bạn nhân vào sẽ ra ĐPCM

dáu = xảy ra <=> a=b=c>0

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và khi đó ta được:

\(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\ge\)

\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\)

\(\Rightarrow\)Ta cần chỉ ra được:

\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

Hay: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)

Dễ thấy: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right);b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right);c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}=VP\)

Hoặc có thể dùng AM-GM

Đặt A=...

Ta có \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=0\)

=>\(2A=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+b^3\)

<=>\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\) (luôn đúng với BĐT cô-si)

Tương tự như vậy + vào, ta có \(2A\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\Rightarrow A\ge\frac{a+b+c}{3}\left(ĐPCM\right)\)

Dấu = xảy ra <=>a=b=c>0

^_^

https://olm.vn/hoi-dap/detail/82505750499.html

Ở mục câu hỏi tương tự có bài đó bạn ơi

Bn vào link này nha!

https://olm.vn/hoi-dap/detail/82505750499.html

Hok tốt!

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+c^2a+a^2c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\)

\(=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+b^2c+b^2a)+(c^3+c^2a+c^2b)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2}\)

Tương tự cộng lại suy ra \(VT\le\frac{3}{2}\)

Suy ra sai đề :)