\(\left(x-1\right)^2+5y^2=6\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0;y=\pm1\\x=2;y=\pm1\end{cases}}\)

a) => 2xy +3x=y+1

=> 2xy+3x-y=1

=> x(2y+3) -  1/2 (2y+3) +3/2 =1

=> (x-1/2)(2y+3)=1-3/2= -1/2

=> (2x-1)(2y+3)=-1

ta có bảng

...........

 |x - 6| +  |y - 1|  = 4 =>  |x - 6| = 4 -   |y - 1|

Vì |x - 6| \(\ge\) 0  => 4 -  |y - 1| \(\ge\) 0 =>   |y - 1|  \(\le\) 4  Mà   |y - 1| \(\ge\) 0 và y nguyên nên |y - 1| = 0; 1; 2; 4

+) |y - 1| = 0 => y - 1 = 0  và |x - 6| = 4 

y - 1 = 0  => y = 1 => x = y + 3 = 4 . 

Khi đó |x - 6| = |4 - 6| = 2 \(\ne\) 4 => Loại

+) |y - 1| = 1 => |x - 6| = 3 và y - 1= 1 hoặc y - 1 = -1

y - 1 = 1 => y = 2 => x = y + 3 = 5 => |x - 6| = 1 \(\ne\) 3 => Loại

y - 1 = -1 => y = 0 => x = 3 => |x - 6| = 3 thỏa mãn

+) |y - 1| = 2 => |x - 6| = 2 và y - 1 = 2 hoặc y - 1 = -2

y - 1 = 2 => y = 3 => x = 6 => |x - 6| = 0 \(\ne\) 2 (Loại)

y - 1 = - 2 => y = -1 => x = 2 => |x - 6| = 4 \(\ne\) 2 (Loại)

+) |y - 1| = 3 => |x - 6| = 1 và y - 1 = 3 hoặc y - 1 = -3

y - 1 = 3 => y = 4 => x = 7 => |x - 6| = 1 (Thỏa mãn)

y - 1 = -3 => y = -2 => x = 1 => |x - 6| = 5 \(\ne\) 1 (Loại)

+) |y - 1| = 4 => |x - 6| = 0 => x - 6 = 0 => x = 6 => y = 6 - 3 = 3

=> |y - 1| = 2 \(\ne\) 4 (Loại)

Vậy có các cặp (x; y) = (3;0) ; (7; 4)

\(x=3\)

\(y=0\)

\(x=7\)

\(y=4\)

  ...........

Bài 1 : 

Phương trình <=> 2^x . x² = ( 3y + 1 ) ² + 15

Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)

( Vì số  chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 ) 

\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)

Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)

Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2^k . 2k + 3y + 1 > 2^k .2k - 3y-1>0

Vậy ta có các trường hợp: 

\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)

\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)

Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 ) 

Bài 3: 

Giả sử \(5^p-2^p=a^m\)    \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)

Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)

Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)

Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có

\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\)    \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)

Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)

\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)

Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)

Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý

\(\rightarrowĐPCM\)

Bài 4:

Ta đặt: \(S=6^m+2^n+2\)

TH1: n chẵn thì:

\(S=6^m+2^n+2=6^m+2\left(2^{n-1}+1\right)\)

Mà \(2^{n-1}+1⋮3\Rightarrow2\left(2^{n-1}+1\right)⋮6\Rightarrow S⋮6\)

Đồng thời S là scp

Cho nên: \(S=6^m+2\left(2^{n-1}\right)=\left(6k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow6^m+6\left(2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1\right)=36k^2\)

Đặt: \(A\left(n\right)=2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1=2^{n-3}+...+1\)là số lẻ

Tiếp tục tương đương: \(6^{m-1}+A\left(n\right)=6k^2\)

Vì A(n) lẻ và 6k^2 là chẵn nên: \(6^{m-1}\)lẻ\(\Rightarrow m=1\)

Thế vào ban đầu: \(S=8+2^n=36k^2\)

Vì n=2x(do n chẵn) nên tiếp tục tương đương: \(8+\left(2^x\right)^2=36k^2\)

\(\Leftrightarrow8=\left(6k-2^x\right)\left(6k+2^x\right)\)

\(\Leftrightarrow2=\left(3k-2^{x-1}\right)\left(3k+2^{x-1}\right)\)

Vì \(3k+2^{x-1}>3k-2^{x-1}>0\)(lớn hơn 0 vì 2>0 và \(3k+2^{x-1}>0\))

Nên: \(\hept{\begin{cases}3k+2^{x-1}=2\\3k-2^{x-1}=1\end{cases}}\Leftrightarrow6k=3\Rightarrow k\notin Z\)(loại)

TH2: n là số lẻ

\(S=6^m+2^n+2=\left(2k\right)^2\)(do S chia hết cho 2 và S là scp)

\(\Leftrightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}+1=2k^2\)là số chẵn

\(\Rightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}\)là số lẻ

Chia tiếp thành 2TH nhỏ: 

TH2/1: \(3\cdot6^{m-1}\)lẻ và \(2^{n-1}\)chẵn với n là số lẻ

Ta thu đc: m=1 và thế vào ban đầu

\(S=2^n+8=\left(2k\right)^2\)(n lớn hơn hoặc bằng 3)

\(\Leftrightarrow2^{n-2}+2=k^2\)

Vì \(k^2⋮2\Rightarrow k⋮2\Rightarrow k^2=\left(2t\right)^2\)

Tiếp tục tương đương: \(2^{n-2}+2=4t^2\)

\(\Leftrightarrow2^{n-3}+1=2t^2\)

\(\Leftrightarrow2^{n-3}\)là số lẻ nên n=3

Vậy ta nhận đc: \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)

TH2/2: \(3\cdot6^{m-1}\)là số chẵn và \(2^{n-1}\)là số lẻ

Suy ra: n=1

Thế vào trên: \(6^m+4=4k^2\)

\(\Leftrightarrow6^m=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k-2=6^q\\2k+2=6^p\end{cases}}\Rightarrow p+q=m\)

Và \(6^p-6^q=4\)

\(\Leftrightarrow6^q\left(6^{p-q}-1\right)=4\Leftrightarrow6^q\le4\Rightarrow q=1\)(do là tích 2 stn)

\(\Rightarrow k\notin Z\)

Vậy \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)

P/S: mk không kiểm lại nên có thể sai

Sửa đề: x( 2y + 3) = y+1

Do \(x\left(2y+3\right)=y+1\)

\(\Rightarrow y+1⋮2y+3\)

\(\Rightarrow2y+2⋮2y+3\)

\(\Rightarrow2y+3-1⋮2y+3\)

Vì \(2y+3⋮2y+3\)

\(\Rightarrow-1⋮2y+3\Rightarrow2y+3\inƯ\left(-1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

nếu \(2y+3=-1\Rightarrow2y=-4\Rightarrow y=-2\)

\(\Rightarrow x.\left[2.\left(-2\right)+3\right]=-2+1\)

\(\Rightarrow-x=-1\Rightarrow x=1\)

nếu \(2y+3=1\Rightarrow2y=-2\Rightarrow y=-1\)

\(\Rightarrow x\left[2.\left(-1\right)+3\right]=-1+1\)

\(\Rightarrow x=0\)

Vậy \(x=1;y=-2\)hoặc \(x=0;y=-1\)

hok tốt!!