a. Gọi d là UCLN(n+1, 2n+3)

=> 2.(n +1) chia hết cho d và 2n + 3 chia hết cho d

=> 2n+2 cũng chia hết cho d

Mà 2n+2, 2n+3 là hai số nguyên liên tiếp => d =1

=> UCLN(n+1, 2n+3) = 1

Vậy  \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản

b. Tương tự 

để p/số trên tối giản thì ƯCLN  là 1,gọi số đó là d

n+1:d,2n+2:d

2n+3-2n-2:d

1:d

d=1

vậy p/số đó luôn tối giản

gọi ƯC(n+1;2n+3)=d

ta có n+1 chia hết cho d nên 2(n+1) chia hết cho d nên 2n+2 cũng chia hết cho d , mặt khác 2n+3 chia hết cho d

nên 2n+3-(2n+2) chia hết cho d nên 1 chia hết cho d vậy ƯC của n+1 và 2n+3 là 1 hoặc -1

do đó mọi fân số dạng n+1/2n+3 đều là phân số tối giản

Gọi ước chung của 4n+1 và 6n+1 là số tự nhiên x.Ta có :

4n+1 và 6n+1 thuộc B(x) => 6(4n+1); 4(6n+1) hay 24n+6;24n+4 thuộc B(x)

=> (24n+6) - (24n+4) = 2 thuộc B(x) => x = 1;2 mà 4n;6n chẵn nên 4n+1;6n+1 lẻ (không thuộc B(2) )

=> x khác 2 và bằng 1 => 4n+1;6n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> 4n+1 / 6n+1 là phân số tối giản (n thuộc N) 

Gọi d là ƯCLN của n + 1 và 2n + 3

Khi đó : n + 1 chia hết cho d , 2n + 3 chia hết cho d

<=>  2(n + 1) chia hết cho d , 2n + 3 chia hết cho d

<=>  2n + 2 chia hết cho d , 2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Vậy \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

a,Gọi d là ƯCLN của n+1 và 2n+3(d thuộc Z/ d khác 0)

=> n+1 chia hết cho d; 2n+ 3 chia hết cho d

=>(n+1)-(2n+3) chia hết cho d

=>1chia hết cho d=> d thuộc Ư của 1

=.> \(\frac{n+1}{2n+3}\)là ps tối giản

b, Gọi d là ƯCLN (2n+3;4n+8)(d thuộc Z/ d khác 0)

=>2n+3 chia hết cho d;4n+8 chia hết cho d

=>(2n+3)-(4n+8) chia hết cho d

=>(2n+3)-(2n+4) chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=>\(\frac{2n+3}{4n+8}\)là ps tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(n+3;2n+5\right)\left(d\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮d\\2n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+6⋮d\\2n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(n+3;2n+5\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\)Phân số \(\dfrac{n+3}{2n+5}\) tối giản với mọi n

Báo đáp j ế!

Gọi \(d\) là \(UCLN\left(n+3;2n+5\right)\)

\(\Rightarrow n+3⋮d\Rightarrow2\left(n+3\right)⋮d\Rightarrow2n+6⋮d\)

\(\Rightarrow2n+5⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(2n+6-2n-5⋮d\)

\(1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{n+3}{2n+5}\) tối giản với mọi \(n\in N\)

Gọi d là ƯCLN (2n+5; n+3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+5⋮d\\n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+5⋮d\\2\left(n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+5⋮d\\2n+6⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=\left\{\pm1\right\}\)

Vậy \(\frac{2n+5}{n+3}\)là phân số tối giản (đpcm)

Giải:

-Gọi ƯCLN(n+3,2n+5)=d

=>n+3 chia hết cho d =>2(n+3)=2n+6 chia hết cho d

=>2n+5 chia hết cho d

=>2n+6-2n+5=1 chia hết cho d

=>d=1.

=>n+3 và 2n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

=> 2n+5/n+3 là phân số tối giản.