Để chứng minh một phân số là tối giản, ta cần chứng minh ƯCLN (tử, mẫu) = 1

Bài giải

a) Ta có phân số: \(\frac{n+1}{3n+4}\)(n \(\inℕ\))

Gọi ƯCLN (n + 1; 3n + 4) là d    (d \(\inℕ^∗\))

=> n + 1 \(⋮\)d;   3n + 4 \(⋮\)d

=> 3n + 4 - 3(n + 1) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> ƯCLN (n + 1; 3n + 4) = 1

=> \(\frac{n+1}{3n+4}\)là phân số tối giản

=> ĐPCM

b) Ta có phân số: \(\frac{2n+3}{3n+5}\)(n \(\inℕ\))

Gọi ƯCLN (2n + 3; 3n + 5) là d  (d \(\inℕ^∗\))

=> 2n + 3 \(⋮\)d;      3n + 5 \(⋮\)d

=> 2(3n + 5) - 3(2n + 3) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> ƯCLN (2n + 3; 3n + 5) = 1

=> \(\frac{2n+3}{3n+5}\)là phân số tối giản

=> ĐPCM

a) Gọi (n+1,3n+4) là d ( d thuộc N* )

=> n+1 và 3n+4 đều chia hết cho d

=> (3n+4)-3(n+1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> (n+1,3n+4)=1 nên n+1 và 3n+4 là 2 SNT cùng nhau

=> P/s n+1/3n+4 tối giản với mọi n thuộc N  (đpcm)

b) Gọi (2n+3,3n+5) là d  (d thuộc N*)

=> 2n+3 chia hết cho d và 3n+5 chia hết cho d

=> (3n+5)-(2n+3) chia hết cho d

=> 2(3n+5)-3(2n+3) chia hết cho d

=> 6n+10-6n+9 chia hết cho d

=> d=1

=> (2n+3,3n+5)=1 nên 2n+3 và 3n+5 là 2 SNT cùng nhau

=> P/s 2n+3/3n+5 tối giản với mọi n thuộc N  (đpcm)

a) \(\frac{n+1}{3n+4}\)

Goi ƯCLN (n + 1; 3n + 4) là d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3.\left(n+1\right)⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}\)

=> (3n + 4) - (3n + 3) ⋮d

=> 3n + 4 - 3n - 3 ⋮d

=> 1 ⋮d

=> d = 1

ƯCLN (n + 1; 3n + 4) = 1

=> \(\frac{n+1}{3n+4}\) là phân số tối giản.

Mình mẫu đầu với cuối nhé:

a)  Đặt \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=d\)  

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3n+7\right)-\left(3n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\)

 \(\Rightarrow d\in\left\{1,3\right\}\)

Nhưng do \(3n+4,3n+7⋮̸3\) nên \(d\ne3\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=1\) hay \(3n+4,3n+7\) nguyên tố cùng nhau.

 e) \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=d\)

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\) \(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=1\), ta có đpcm.

Gọi UCLN(2n + 3; 4n + 5) là d (d thuộc N*)

=> 2n + 3 chia hết cho d => 4n + 6 chia hết cho d => 4n + 5 + 1 chia hết cho d

và 4n + 5 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 (Vì d thuộc N*)

=> UWCLN(2n + 3; 4n + 5) = 1

=> 2n + 3/4n + 5 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Vậy,........

a) Gọi \(d\)là ước chung của \(n+3;n+4\)

\(\Rightarrow n+3⋮d\)và \(n+4⋮d\)

\(\Rightarrow n+3-\left(n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n+3-n-4⋮d\)

\(\Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d=-1;1\)

Tử và mẫu chỉ có ước chung là -1;1 nên phân số \(\frac{n+3}{n+4}\)là phân số tối giản (đpcm)

c) Gọi ƯCLN(4n + 3;5n+4) = d

=> \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(4n+3\right)⋮d\\4\left(5n+4\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{cases}\Rightarrow}20n+16-\left(20n+15\right)⋮d\Rightarrow1⋮d}\)

=> d = 1

=> 4n + 3 ; 5n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

=> \(\frac{4n+3}{5n+4}\)là phân số tối giản

d) Gọi ƯCLN(n+1;2n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản

f)  Gọi ƯCLN(3n + 2;5n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(5n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\begin{cases}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{cases}\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\Rightarrow1⋮d}\)

=> d = 1

=> 3n + 2 ; 5n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

=> \(\frac{3n+2}{5n+3}\)là phân số tối giản

a) Gọi ƯCLN(n + 3;n + 4) = d

=> \(\hept{\begin{cases}n+3⋮d\\n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow n+4-\left(n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

=> n + 3 ; n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{n+3}{n+4}\)là phân số tối giản

b) Gọi ƯCLN(3n + 3 ; 9n + 8) = d

Ta có : \(\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\9n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(3n+3\right)⋮d\\9n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}9n+9⋮d\\9n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow9n+9-\left(9n+8\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

=> 3n + 3 ; 9n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{3n+3}{9n+8}\)phân số tối giản

Gọi d là ước chung của 2n+5 và 2n+3

=> 2n+5 chia hết cho d và 2n+3 chia hết cho d

=> (2n+5)-(2n+3)=2 chia hết cho d => d={1;2}

Do 2n+5 và 2n+3 lẻ => d lẻ => d=1

=> phân số trên tối giản với mọi n

Cảm ơn bạn NGUYỄN NGỌC ANH MINH nhiều