Vì x, y, z là các số nguyên dương

Ta có: x/x+y>x/x+y+z

A = \(\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{x+z}\)

A=3 \(-\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

mà \(\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=> A <2 (1)

mặt khác A=\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)

mà \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=> A >1 (2)

từ (1) và (2) => 1<A<2 => A ko phải là số nguyên

Bạn Hiếu làm đúng rồi đấy!

làm đúng chưa bạn

bài toán này chứng minh 1<A<2

Ta có : 

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{y+z+t}< \frac{y+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{z+t+x}< \frac{z+y}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{t+x+y}< \frac{t+z}{x+y+z+t}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

Do đó M ko nhận giá trị nguyên

mình biết làm nhưng ghi phân  số mỏi tay quá

Vì x,y,z là các số dương nên : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\) ; \(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (1)

Mặt khác ta lại có : \(x+y< x+y+z\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

Tương tự : \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(1< A< 2\) => A không có giá trị nguyên

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)

\(A>1\left(1\right)\)

Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a,b,m \(\in\) N*) ta có:

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)

\(A< \frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

\(A< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

=> A không là số nguyên (đpcm)

Ta có :

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{y}{x+y}+1-\frac{z}{y+z}+1-\frac{x}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)\)

Mặt khác vì A nguyên dương

\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+x}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{z+y}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>1\) 

\(\Rightarrow-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)< -1\)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)< 2\left(1\right)\) 

Mà \(\begin{cases}\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow1< A< 2\)

=> A không phải là số nguyên