Ta có: 
1/50 + 1/99 = 149/50.99 
1/51 +1/98 = 149/51.98 
... 
1/74 +1/75=149/74.75 

=> a/b =149*[1/50.99 +..+1/74.75] 

Quy đồng mẫu số vế phải ta được; 
a/b =149.k /[50.51.....99] 

Tuy nhiên do 149 là số nguyên tố nên 50.51..99 không chia hết cho 149 

=> a= 149p, với p là số đã ước lược với các số dưới mẫu số 

=> a chia hết cho 149

\(Ta\)\(có:\)

\(\frac{1}{50}\)\(+\)\(\frac{1}{99}\)\(=\frac{149}{50.99}\)

\(\frac{1}{51}+\frac{1}{98}=\frac{149}{51.98}\)

\(...\)

\(\frac{1}{74}+\frac{1}{75}=\frac{149}{74.75}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=149\)*\([\frac{1}{50.99}+...+\frac{1}{74.75}]\)

Quy đồng mẫu số vế phải ta được :

\(\frac{a}{b}=149.k/\left[50.51...99\right]\)

Tuy nhiên do 149 là số nguyên tố nên 50.51...99 ko chia hết cho 149

\(\Rightarrow a=149p,với\)\(p\)là số đã ước lược với các số dưới mẫu số

\(\Rightarrow a\)chia hết cho \(149\)

qui đồng ms biểu thức trên và cộng lại  ta có:

MS = 2.3.4.5. ...... 25 chia hết cho 13, 17, 19

13,17,19 đều là số nguyên tố nên MS chia hết cho 13x17x19 =4199.

bây giờ ta chỉ cần chứng minh TS không chia hết cho 4199 (để khi làm tối giản không mất 3 thừa số 13,17,19

ta có: 

TS = tổng các số hạng (24 số hạng) trong đó có 21 số hạng đều có chứa cả 3 số 13,17,19 nên chia hết cho 4199

A= tổng 3 số hạng còn lại chỉ chứa 2 trong 3 thừa số 13,17,19

A= 2.3.....12.14....17. ...25 + 2.3.4.......13.....16.18.19...25 + 2.3......13......17.18.20.....25

=2.3.....12.14...16.18.20.....25 (17.19+ 13.17 + 13.19)

=2.3.....12.14...16.18.20.....25  . 719

719 không chia hết cho 13,17,19 nên A không chia hết cho 13,17,19 

A không chia hết cho 13x17x19= 4199

vậy tử số không chia hết cho 4199 (đpcm)

1/2+1/3+1/4+...+1/18=A/B =a/b( Với a/b là phân số tối giản, 
và A/B là phân số chưa tối giản) 
=> B là BCNN của 2,3,4,...,18 = 2^4.3^2.5.7.11.13.17= 
12252240 
Ta nhận thấy các phân số sau khi qui đồng đều có tử chia 
hết cho 11 trừ phân số 1/11 => A không chia hết cho 11, B 
chia hêt cho 11 => b chia hết cho 11(1) 
Bằng cách lý luận tương tự ta cũng có A không chia hết cho 
13; 17 mà B chia hết cho 13; 17 => b chia hết cho 13; 17(2) 
Từ (1); (2) => b chia hết cho 11.13.17=2431( Do 11, 13, 17 
là các số nguyên tố => đpcm

1/2+1/3+1/4+...+1/18=A/B =a/b( Với a/b là phân số tối giản, 

và A/B là phân số chưa tối giản) 

=> B là BCNN của 2,3,4,...,18 = 2^4.3^2.5.7.11.13.17= 

12252240 

Ta nhận thấy các phân số sau khi qui đồng đều có tử chia 

hết cho 11 trừ phân số 1/11 => A không chia hết cho 11, B 

chia hêt cho 11 => b chia hết cho 11(1) 

Bằng cách lý luận tương tự ta cũng có A không chia hết cho 

13; 17 mà B chia hết cho 13; 17 => b chia hết cho 13; 17(2) 

Từ (1); (2) => b chia hết cho 11.13.17=2431( Do 11, 13, 17 

là các số nguyên tố => đpcm

\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)

\(\Rightarrow M< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)

\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{99}< 1\)

Dễ thấy M > 0 nên 0 < M < 1

Vậy M không là số tự nhiên.

\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\) (50 số hạng \(\frac{1}{100}\))

\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}.50=\frac{1}{2}\)

Vậy \(S>\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{50}+\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\)(50 số hạng \(\frac{1}{50}\))

\(\Rightarrow S< \frac{1}{50}.50=1\)

Vậy S < 1 (đpcm)