Đây là tổng của 2 dãy:

\(\frac{1}{1\times3\times5}+\frac{1}{3\times5\times7}+\frac{1}{5\times7\times9}+...+\frac{1}{995\times997\times999}\)(1)

và 

\(\frac{1}{2\times5\times8}+\frac{1}{5\times8\times11}+\frac{1}{8\times11\times14}+...+\frac{1}{1493\times1496\times1499}\)(2)

Dãy số có dạng là tích 3 thừa số, trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và 2 thừa số cuối của phân số trước là 2 thừa số đầu của phân số sau. Để tính dãy kiểu này cần đưa tử số về hiệu của thừa số thứ 3 và thừa số thứ nhất (hiệu = n):

Vậy nhân dãy thứ nhất với 4:

\(=\frac{4}{1\times3\times5}+\frac{4}{3\times5\times7}+\frac{4}{5\times7\times9}+...+\frac{4}{995\times997\times999}\)

Nhận xét:

Vậy 4 lần tổng dãy 1 là:

\(\frac{1}{1\times3}-\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{3\times5}-\frac{1}{5\times7}+...+\frac{1}{995\times997}-\frac{1}{997\times999}\)

\(\frac{1}{1\times3}-\frac{1}{997\times999}\)

Suy ra tổng dãy (1) là \(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{997\times999}\right)\times\frac{1}{4}\)

Làm tương tự tính được tổng dãy (2) là: \(\left(\frac{1}{2\times5}-\frac{1}{1496\times1499}\right)\times\frac{1}{6}\)

Cộng 2 kết quả lại được tổng cần tính

\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{8.9.10}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right)+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right)+...+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}\right)\)

\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{9.10}\right)=\frac{1}{2}.\frac{22}{45}=\frac{11}{45}\)

Đặt \(A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{3.5.7}+...+\frac{1}{45.47.49}\)

\(\Rightarrow4A=\frac{4}{1.3.5}+\frac{4}{3.5.7}+...+\frac{4}{45.47.49}\)

\(=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{45.47}-\frac{1}{47.49}\)

\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{47.49}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{47.49}}{4}=\frac{575}{6909}\)

\(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{99.101}\)

\(=2\left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{99.101}\right)\)

\(=2.\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)

\(=1-\frac{1}{100}\Rightarrowđpcm\)

Ta có :

\(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{99.101}\)

\(=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)

\(=1-\frac{1}{101}< 1\)\(\left(đpcm\right)\)

=1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/99-1/101=1-1/101=100/101<1

\(E=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+...+\frac{1}{120}\)

\(E=\frac{2}{20}+\frac{2}{30}+...+\frac{2}{240}\)

\(E=2\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{240}\right)\)

\(E=2\left(\frac{1}{4x5}+\frac{1}{5x6}+...+\frac{1}{15x16}\right)\)

\(E=2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}\right)\)

\(E=2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)\)

\(E=\frac{3}{8}\)

1/2E=1/20+1/30+1/42+...+1/240.                                                                                                                                                         =>1/2E=1/4*5+1/5*6+1/6*7+...+1/15*16.                                                                                                                                           =>1/2E=1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+...+1/15-1/16.                                                                                                                                     =>1/2E=1/4-1/16=3/16.                                                                                                                                                                    =>E=3/16:1/2=3/8.                                                                                                                                                                            Câu b có vấn đề.

E=\(\frac{3}{8}\)

rút gọn là được mà ! 

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{7}{14}\)

Đặt \(A=\frac{1}{1x3}+\frac{1}{3x5}+\frac{1}{5x7}+...+\frac{1}{17x19}\)

=>\(2xA=2x\left(\frac{1}{1x3}+\frac{1}{3x5}+\frac{1}{5x7}+...+\frac{1}{17x19}\right)\)

=>\(2xA=\frac{2}{1x3}+\frac{2}{3x5}+\frac{2}{5x7}+...+\frac{2}{17x19}\)

=>\(2xA=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\)

=>\(2xA=1-\frac{1}{19}=\frac{18}{19}\)

=>\(A=\frac{18}{19}:2=\frac{9}{19}\)

(\(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\left(\right)+\left(\right)\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\left(\right)+\left(\right)\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\left(\right)+....+\left(\right)\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\left(\right)\)\(\frac{1}{19}\)

\(\frac{1}{1}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\right)+....+\left(\frac{1}{17}-\frac{1}{17}\right)-\frac{1}{19}\)

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{19}=\frac{18}{19}\)

=2x(\(\frac{1}{1\times3}+\)\(\frac{1}{3\times5}+\)\(\frac{1}{5\times7}+\)..........+\(\frac{1}{17\times19}\))

=\(\frac{2}{1\times3}+\)\(\frac{2}{3\times5}+\)\(\frac{2}{5\times7}+\)............+\(\frac{2}{17\times19}\)

=\(\frac{1}{1}-\)\(\frac{1}{3}+\)\(\frac{1}{3}-\)\(\frac{1}{5}+\)\(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\)\(+\)..........\(+\)\(\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\)

=\(\frac{1}{1}-\frac{1}{19}\)

=\(\frac{19}{19}-\frac{1}{19}\)

=\(\frac{18}{19}\)

=>A=\(\frac{7}{2}\)(\(\frac{1}{1}\)-\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{3}\)-\(\frac{1}{5}\)+...+\(\frac{1}{99}\)-\(\frac{1}{101}\))

=>A=\(\frac{7}{2}\)(1-\(\frac{1}{101}\))

=>A=\(\frac{350}{101}\)

7/2 ( \(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-....+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\))

7/2 ( 1 - 1/101 ) 

7/2 x 100/101

=350/101 

= 7 phần 1 + 7 phần 3 - 7 phần 3 + 7 phần 5 - 7 phần 5 + 7 phần 7 + ...... + 7 phần 99 - 7 pjaafn 101

= 7 - 7 phần 101 

 = tự tính kết quả nhé , mà bạn viết ra giấy rồi viết vào vở cho dễ nhìn nhé

đặt A = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{91.93}\) 

ta có:

A = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{91.93}\) 

=> 2A = \(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{91.93}\) 

=> 2A = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{91}-\frac{1}{93}\) 

=> 2A = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{93}\) 

2A = \(\frac{92}{93}\) 

=> A = \(\frac{92}{93}:2\)

A = \(\frac{46}{93}\)

=1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.........+1/91-1/93

=>1-1/93=92/92

Cảm ơn các bạn nha!