a) Theo bài ra, ta có:

        \(\overline{abbc}=\overline{ab}.\overline{ac}.7\)

\(\Rightarrow\overline{ab}.100+\overline{bc}=\overline{ab}.\overline{ac}.7\)

\(\Rightarrow100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=\overline{ac}.7\)

Ta thấy : \(\frac{10}{90}\le\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le\frac{91}{10}\)

\(\Rightarrow100+\frac{10}{90}\le100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le100+\frac{91}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{901}{9}\le100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le\frac{1091}{10}.\)

Ta thấy: \(\overline{ac}\in N\Rightarrow\overline{ac}.7\in N\)

Mà \(\overline{ac}.7⋮7\Rightarrow\overline{ac}.7=105\)

\(\Rightarrow\overline{ac}=105:7=15\Rightarrow a=1;c=5\)

\(\Rightarrow100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=105\Rightarrow\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=105-100=5\)

\(\Rightarrow\overline{bc}=5.\overline{ab}\Rightarrow b.10+c=50.a+5b\)

\(\Rightarrow5b+5=50\Rightarrow5b=50-5=45\)

\(\Rightarrow b=45:5=9.\)

                                  Vậy \(a=1;b=9;c=5.\)

b) Theo bài ra, ta có:

     \(A=\frac{1}{2}\left(7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\right)\)

 Vì \(7>3;2012>92;2015>94\Rightarrow7^{2012^{2015}}>3^{92^{94}}\)      

\(\Rightarrow7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\)là một số tự nhiên.

     \(2012\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2012^{2015}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2012^{2015}=4m\left(m\in N\right)\)

\(\Rightarrow7^{2012^{2015}}=7^{4m}=\left(7^4\right)^m=\overline{...1}^m=\overline{...1}.\)

          \(92\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow92^{94}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow92^{94}=4n\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow3^{92^{94}}=3^{4n}=\left(3^4\right)^n=\overline{...1}^n=\overline{...1}.\)

Thay vào, ta được :

      \(A=\frac{1}{2}\left(\overline{...1}-\overline{...1}\right)\)

 \(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\overline{...0}\right)\)

\(\overline{...0}\)là một số tự nhiên chia hết cho 10 \(\Rightarrow\)nó chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A\)là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 

\(\Rightarrow A⋮5.\)

Vậy A là một số tự nhiên chia hết cho 5.

\(\)

Có abbc < 10 000

=> ab.ac.7 < 10 000

=> ab.ac < 1429

=> a0.a0 <1429 (a0 là số 2 chữ số kết thúc = 0)

=> a0 < 38

=> a <= 3

_ Với a = 3 ta có:

3bbc = 3b.3c.7

Ta thấy 3b.3c.7 > 30.30.7 = 6300 > 3bbc => loại

_ Với a = 2 ta có:

2bbc = 2b.2c.7

Ta thấy 2b.2c.7 > 21.21.7 = 3087 > 2bbc => loại 

=> a chỉ có thể = 1

Ta có: 1bbc = 1b.1c.7

Có 1bbc > 1b.100 => 1c.7 > 100 => 1c > 14 => c >= 5

Lại có 1bbc = 100.1b + bc < 110.1b ( Vì bc < 1b.10)

=> 1c.7 < 110 => 1c < 16 => c < 6

Vậy c chỉ co1 thể = 5

Ta có: 1bb5 = 1b.15.7 => 1bb5 = 1b.105

<=> 100.1b+b5 = 1b.105b

<=> b5 = 5.1b

<=> 10b + 5 = 5.(10 + b)

=> b = 9

Vậy a = 1, b = 9, c = 5

Số a ; b ; c là : 1 ; 9 ; 5

giải đầy đủ ra cơ mà bn

​

Có abbc < 10.000 

=> ab.ac.7 < 10000 

=> ab.ac < 1429 

=> a0.a0 < 1429 (a0 là số 2 chữ số kết thúc = 0) 

=> a0 < 38 

=> a <= 3 

+) Với a = 3 ta có 

3bbc = 3b.3c.7 

Ta thấy 3b.3c.7 > 30.30.7 = 6300 > 3bbc => loại 

+)Với a = 2 ta có 

2bbc = 2b.2c.7 

Ta thấy 2b.2c.7 > 21.21.7 = 3087 > 2bbc => loại ( là 21.21.7 vì b và c khác 0 nên nhỏ nhất = 1) 

=> a chỉ có thể = 1 

Ta có 1bbc = 1b.1c.7 

có 1bbc > 1b.100 => 1c.7 > 100 => 1c > 14 => c >= 5 

lại có 1bbc = 100.1b + bc < 110.1b ( vì bc < 1b.10) 

=> 1c.7 < 110 => 1c < 16 => c < 6 

vậy c chỉ có thể = 5 

ta có 1bb5 = 1b.15.7 => 1bb5 = 1b.105 

<=> 100.1b + b5 = 1b.105b 

<=> b5 = 5.1b 

<=> 10b + 5 = 5.(10+b) 

=> b = 9 

vậy số abc là 195