trường hợp : ab = cd + 1

ta có a+ b = c + d

=> b.(a+b) = b(c+d) => a.b + b 2 = bc + bd mà ab = cd + 1

nên cd + 1 + b 2 = bc + bd => bc - cd + bd - b 2 = 1 => c(b - d) + b.(d - b) = 1 => (c - b)(b - d) = 1 . Vì a, b, c, d nguyên nên c - b và b - d cũng nguyên. do đó c - b = b - d = 1 hoặc c - b = b -d = -1

c - b = b - d => c + d = 2.b Mà c + d = a+ b => 2.b = a+ b => b = a => đpcm

Trường hợp 2: ab = cd - 1: tương tự 

Từ a+b = c+d suy ra d = a+b-c

                                  Vì tích ab liền sau của tích cd nên ab = cd + 1 hay ab - cd = 1

                                   ab - c.(a+b-c) = 1

                                     ab - ac - cb + c² = 1

                                      a.(b - c) - c.(b -c) = 1

                                        (b-c) .(b+c) = 1

                                       suy ra a-c = b-c ( vì  cùng bằng 1 hoặc -1) suy ra a=b (DPCM)