Định lý Fermat

Có định lí Fermat là không tồn tại bộ ba số nguyên x, y, z nào thỏa mãn \(x^n+y^n=z^n\)(với n>2)

Xét Ta thấy 3>2

Nên không tồn tại x,y,z 

Định lý Fermat ! chắc chắn 100% !

trong 2003 số đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau

Thật vậy: Giả sử chúng có nhiều hơn 4 giá trị khác nhau, gọi a1;a2;a3;a4;a5; là 5 số khác nhau,Giả sử

a1<a2<a3<a4<a5 khi đó với 4 số bất kì a1;a2;a3;a4 ta có a1a2\(\ne\) a3a4;a1a3\(\ne\)a2a4;a1a4\(\ne\) a2a3 tức là 4 số a1;a2;a3;a4 không thể lập nên 1 tỉ lệ thức

=>trái giả thiết của đề bài

Mặt khác 2003=4.500+3,Vì vậy phải có 599+1=501 số bằng nhau

trong 2003 số đã cho chỉ nhận 4 giá trị khác nhau

Giả sử chúng có > 4 giá trị khác nhau, thì gọi x1;x2;x3;x4;x5; là 5 số khác nhau

Giả sử x1<x2<x3<x4<x5 khi đó với 4 số bất kì x1;x2;x3;x4; ta có a1a2 không bằng x3x4;x1x3 và không bàng x2x4;x1x4 không bằng a2a3 nghĩa là 4 số x1;x2;x3;x4  không có cách nào để lập nên 1 tỉ lệ thức

=>ngược giả thiết của đề bài

ở một hướng khác =4.500+3,Vì vậy phải có 599+1=501 số bằng nhau

Ta có : \(x^2+2012x+2011^{2011}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2012x+1006^2=2011^{2011}+1+1006^2\)

\(\Rightarrow\left(x+1006\right)^2=2011^{2011}+1+1006^2\)

Giả sử x là một số nguyên thì VT là một số chính phương.

Khi đó VP cũng là số chính phương.

Lại có 2011²⁰¹¹ có tận cùng là chữ số 1, 1006² có tận cùng là chữ số 6 nên VP có tận cùng là chữ số 8.

Lại có không một số chính phương nào có tận cùng là chữ số 8 hay VP không là số chính phương.

Vậy giả sử sai hay không tồn tại số nguyên x thỏa mãn phương trình trên.