Chứng minh rằng :
Nếu ax3=bx3=cx3 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)thì \(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Chứng minh rằng nếu \(\text{ax}^3=by^3=cz^3\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) thì
\(\sqrt[3]{\text{ax}^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{1}\)
=> \(ax^2+by^2+cz^2=ax^3+by^3+cz^3\)
=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}=x\sqrt[3]{a}=y\sqrt[3]{b}=z\sqrt[3]{c}\) (1)
=> \(\frac{\sqrt[3]{a}}{\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt[3]{b}}{\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt[3]{c}}{\frac{1}{z}}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) (2)
Tu (1) va (2) ta co dpcm
Chuc bn hoc tot !!!
Chứng minh rằng: Nếu \(ax^3=by^3=cz^3\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) thì \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{k}{x^3}\\b=\frac{k}{y^3}\\c=\frac{k}{z^3}\end{matrix}\right.\)
Thay vào VT ta được :
\(VT=\sqrt[3]{x^2\cdot\frac{k}{x^3}+y^2\cdot\frac{k}{y^3}+z\cdot\frac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}\)
\(=\sqrt[3]{k\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\) (1)
Thay vào VP ta được :
\(VP=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{x}+\frac{\sqrt[3]{k}}{y}+\frac{\sqrt[3]{k}}{z}=\sqrt[3]{k}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\sqrt[3]{k}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT=VP\)
Ta có đpcm.
Ta có: \(ax^3+by^3+cz^3=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}\)
mà \(ax^3=by^3=cz^3\)
\(\Rightarrow ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=ax^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=x\sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow\frac{\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}}{x}=\sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{x}=\sqrt[3]{a}\)
Tương tự, ta có:
\(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{y}=\sqrt[3]{b}\)
\(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{z}=\sqrt[3]{c}\)
Cộng vế theo vế các đẳng thức, ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\\ =\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt!
Chứng minh : Nếu \(ax^3=by^3=cz^3\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
thì \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\).
đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\) thì \(a=\frac{k^3}{x^3};b=\frac{k^3}{y^3};c=\frac{k^3}{z^3}\)
\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k\)
Mặt khác : \(ax^2+by^2+cz^2=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}=\frac{k^3}{x}+\frac{k^3}{y}+\frac{k^3}{z}=k^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=k\)
Do đó , ta có đpcm
Cho \(ax^3=by^3=cz^3\)và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Gọi vế trái là T, vế phải là P, ta có:
\(T=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{qx^3}{z}}\)
\(T=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)
Tương tự \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)
Vậy\(P=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\)
đây là câu hỏi của bạn mình nhờ đăng thôi
giả thiết: ax3 = by2 = cz3 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow x,y,z\ne0\). Vì vậy, ta có:
\(ax^2=\frac{by^3}{x}=\frac{cz^2}{x}\)
\(by^2=\frac{cz^3}{y}=\frac{ax^3}{y}\)
\(cz^2=\frac{ax^3}{z}=\frac{by^3}{z}\)
\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=ax^3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+by^3\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+cz^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow2ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=2ax^3\)(Rút ax3 làm thừa số chung)
\(\Rightarrow ax^3+by^3+cz^3=ax^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{a}\)(1)
Tương tự, ta có:
\(\left(\frac{1}{y}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{b}\)(2)
\(\left(\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{c}\)(3)
Ta cộng (1) + (2) + (3) lại, ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Chứng minh rằng nếu \(\text{ax}^3=by^3=cz^3\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) thì
\(\sqrt[3]{\text{ax}^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)
\(\Rightarrow k^3=ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{ax^3}{z}=ax^2+by^2+cz^2\)
\(A=\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=k=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{z}\)
Đây nha !
Đây mà là ngữ văn lớp 1 á?
ngữ văn ko phải toán ko giải dc với đây là toán lớp 6 nha
cho \(ax^3=by^3=cz^3\)và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
CMR: \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
ĐẶT: T= \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)
tuowng tự ta đc \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{T}{x}+\frac{T}{y}+\frac{T}{z}=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\left(dpcm\right)\)
Đặt: \(ax^3=by^3=cz^3=k\) và do \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) nên
\(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)
\(=\sqrt[3]{k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\)
\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}\)
\(=\sqrt[3]{k}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\)
suy ra:đpcm
cho \(ax^3=by^3=cz^3\)và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
CMR: \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Có: A= \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\) = \(\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\) = \(\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)
= \(\sqrt[3]{ax^3}\) = \(\sqrt[3]{a}x\) =>\(\sqrt[3]{a}\) =\(\frac{A}{x}\)
Tương tự : \(\sqrt[3]{b}=\frac{A}{y}\) , \(\sqrt[3]{c}=\frac{A}{z}\)
=> \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) = \(\frac{A}{x}+\frac{A}{y}+\frac{A}{z}\) = A \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) = A
hay \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) = \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\)
cho \(ax^2=by^2=cz^2\)và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)cmr:
\(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Đặt \(Q=\sqrt[3]{ax^{2\:}+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{ax^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{ax^{3\:}}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{Q}{x}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b}=\frac{Q}{y}\\\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{z}\end{cases}}\)
\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{x}+\frac{Q}{y}+\frac{Q}{z}=Q\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=Q\)
Vậy....
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(ax^2+by^2+cz^2=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot ax^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}\cdot by^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z}\cdot cz^2}\right)^3\)
\(=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3=VP\)
Do \(ax^2=by^2=cz^2\) nên đẳng thức có xảy ra
Thắng Nguyễn - Trang của Thắng Nguyễn - Học toán với OnlineMath cosi chỉ dùng cho số không âm thôi nhé. Ở đây không có cho x, y, z, a, b, c không âm nha. Nên không dùng cosi được nhé.