Áp dụng bđt Mincopxki và Cauchy-Schwarz:

\(VT=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2+\left(\dfrac{16}{a+b+c+d}\right)^2}\)

\(=\sqrt{3^2+\dfrac{16^2}{3^2}}=\sqrt{\dfrac{337}{9}}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{3}{4}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)(1+1)\geq (a+\frac{1}{b})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{a+\frac{1}{b}}{\sqrt{2}}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c+d+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\)

Mặt khác theo BĐT Cauchy:

\(a+\frac{1}{a}\geq 2; b+\frac{1}{b}\geq 2; c+\frac{1}{c}\geq 2; d+\frac{1}{d}\geq 2\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}.8=4\sqrt{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $4\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Đặt \(N=a^2+b^2+c^2+d^2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có ; \(4N=\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\ge\left(4.\sqrt[4]{abcd}\right)^2=16\)

\(\Rightarrow N\ge4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

Vậy min N = 4 <=> a = b = c = d = 1

Đặt N\(\text{=a2+b2+c2+d2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có ; 4N=\(\text{(12+12+12+12)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2≥(4.4√abcd)2=16}\)

\(\text{⇒N≥4}\)

Đẳng thức xảy ra khi\(\text{ a=b=c=d=1}\)

Vậy min N = 4 <=> a = b = c = d = 1