4n+5/2n-1 nguyên khi 

4n+5 \(⋮\)2n-1

hay 2(2n-1)+9 \(⋮\)2n-1

=>9 \(⋮\)2n-1

=>2n-1 thuộc Ư(9) thuộc 1,-1,3,-3,9,-9

ta có 

2n-1     1        -1       3       -3        9          -9

2n       2         0       4         -2      10          -8

n         1        0          2       -1      5           -4

Tổng: -15+-14+-13+-12+-11+-10+-9+-8+-7+-6+-5+-4+-3+-2+-1+0+1+2+...+13= -29

=-16+-15=-31

45

tick mình nha

\(n^3-4n^2+4n-1\)

\(=\left(n^3-1\right)-\left(4n^2-4n\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)-4n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^2-3n+1\right)\)

Ta có: \(n^3-4n^2+4n-1=\left(n-1\right)\left(n^2-3n+1\right)\)

nên sẽ phải có 1 số trong tích trên bằng 1 và 1 số bằng chính snt đó

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n-1=1\\n\left(n-3\right)=0\end{cases}}\)

Các giá trị trên ko thỏa để n là snt

=> ko có giá trị n cần tìm

mình năn nỉ bn rất gấp rút

Đặt \(\hept{\begin{cases}n+1=a^2\\4n+29=b^2\end{cases}\left(a;b\inℕ\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+4=4a^2\\4n+29=b^2\end{cases}}}\)

=> 4n+29-4n-4=b²-4a²

=> 25=(b-2a)(b+2a)

Vì a,b là số tự nhiên => \(\hept{\begin{cases}b-2a;b+2a\inℤ\\b-2a\le b+2a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(b-2a;b+2a\right)\inƯ\left(25\right)=\left\{\left(-25;-1\right);\left(-5;-5\right);\left(1;25\right);\left(5;5\right)\right\}\)

Lấy vế cộng vế ta được

\(2b\in\left\{-26;-10;26;10\right\}\)

\(\Rightarrow b\in\left\{-13;-5;13;5\right\}\)

Mà b là số tư nhiên nên b={13;5}

Với b=13

\(\Rightarrow4n+29=13^3=169\)

=> 4n=140

=> n=35 => n+1=36=6²

Với b=5

=> \(4n+29=5^2=25\)

=> 4n=-4

=> n=-1

=> n+1=-1+1=0

Vậy với n={35;-1} thì n+1; 4n+29 là số chính phương

Có : n^2+4n = n.(n+4)

Để n.(n+4) là số nguyên tố ( số p ) => n=p ; n+4=1 hoặc n=1;n+4=p

=> p=3;n=-1 hoặc p=5;n=1

Mà n là số tự nhiên => n=1

Vậy n = 1

k mk nha

Bài 1 

a, 

Gọi d là ƯCLN(6n+5;4n+3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(6n+5\right)⋮d\\3\left(4n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}12n+10⋮d\\12n+9⋮d\end{cases}}}\) 

\(\Rightarrow12n+10-\left(12n+9\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow\) d=1 hay ƯCLN (6n+5;4n+3) =1 

Vậy 6n+5 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

b, Vì số nguyên dương nhỏ nhất là số 1 

=> x+ 2016 = 1 

=> x= 1-2016 

x= - 2015

Đặt \(6n+5;4n+3=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(6n+5⋮d\Rightarrow12n+10⋮d\)

\(4n+3⋮d\Rightarrow12n+9⋮d\)

Suy ra : \(12n+10-12n-9⋮d\)hay \(1⋮d\)

Vậy ta có đpcm