Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)

Ta có :\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\)(Do \(xy=1\))

                                                    \(=x+y+\frac{2}{x+y}\)

                                                    \(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)

Đặt \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)

\(\Rightarrow A=B+C\)

Do x,y>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\)(1)

Ta có: \(x,y>0\Rightarrow x+y>0\)

Ta áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x+y và 2

\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)

                  \(\Rightarrow A\ge3\)

                 \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\left(ĐPCM\right)\)

hình như bạn chép sai đề vì kết quả của vế trái mà tôi ra là: 2/căn bậc hai(3x +y) còn vế kia 2/căn x+căn y và mẫu của vế trái lại lớn hơn mẫu của vế phải và tử của 2 vế bằng nhau =>phân số vế trái bé hơn phân số của vế phải 

=>tôi không thể chứng minh được

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha 

Vì x, y cùng dấu nên \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}>0\\\frac{y}{x}>0\end{cases}}\)

Ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}\right)+2=\left(\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}\right)^2+2\ge2\)

Dấu = xảy ra khi x = y # 0

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) luôn đúng!

Thêm phát nữa cho vui

\(Hai.so.duong:\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{x}}=2\\ \)

Ta có: 

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}\)

\(=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\) với mọi x y >0

Vì x, y >0 => \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\) mà \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\)

=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2>\frac{1}{2}\)với mọi x, y >0

"=" xảy ra <=> x =y

Em kiểm tra lại đề bài nha.

1/

Xét hiệu $(x+1)^2-4x^2=(x+1)^2-(2x)^2=(x+1-2x)(x+1+2x)$

$=(1-x)(3x+1)$
Do $x\in (0;1)$ nên $1-x>0; 3x+1>0$

$\Rightarrow (x+1)^2-4x^2>0\Rightarrow (x+1)^2> 4x^2$

2/

Xét hiệu:

$(1+x+y)^2-4(x^2+y^2)=x^2+y^2+1+2x+2y+2xy-4x^2-4y^2$

$=1+2x+2y+2xy-3x^2-3y^2$

$=2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2$
Vì $x,y\in (0;1)$ nên: 

$2x(1-x)>0$

$2y(1-y)>0$

$(x-1)(y-1)>0\Rightarrow xy+1> x+y=x.1+y.1> x^2+y^2$

$\Rightarrow 1+xy-x^2-y^2>0$

$\Rightarrow 1+2xy-x^2-y^2>0$

Suy ra: $2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2>0$

$\Rightarrow (1+x+y)^2> 4(x^2+y^2)$