Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: 
1/x + 36x ≥ 2.√(1/x . 36x) = 12 (đẳng thức xảy ra khi 1/x = 36x hay x = 1/6) (1)
4/y + 36y ≥ 24 (đẳng thức xảy ra khi 4/y = 36y hay y = 1/3) (2)
9/z + 36z ≥ 36 (đẳng thức xảy ra khi 9/z = 36z hay z = 1/2) (3)
Cộng vế 3 bất đẳng thức (1),(2),(3) lại được: 
1/x + 4/y + 9/z + 36(x + y + z) ≥ 12+24+36=72
<=> 1/x + 4/y + 9/z ≥ 72 - 36(x + y + z) = 36 (vì x + y + z = 1) 
Vậy GTNN S = 36 khi x = 1/6; y = 1/3; z = 1/2

Đúng thì tick nhé !

mk ko bt

câu 1

x^2 -5x +y^2+xy -4y +2014 

=(y^2+xy +1/4x^2) -4(y+1/2x)+4 +3/4x^2-3x+2010

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x^2-4x+4)+2007

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x-2)^2 +2007

GTNN là 2007<=> x=2 và y=1

Ta có:

\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)

\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)

\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)

\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)

kẻ lười biếng nạp card, đi ô tô

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{4}{x+1}+\frac{9}{y+2}+\frac{25}{z+3}\ge\frac{\left(2+3+5\right)^2}{x+1+y+2+z+3}=\frac{10^2}{4+6}=10\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{2}{x+1}=\frac{3}{y+2}=\frac{5}{z+3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

A=1+y/x+z/x+x/y+1+z/y+x/z+y/z+1

A=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)

với x,y,z > 0 Áp dụng BDT cauchy ta có

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\\\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2\\\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2\end{cases}}\)

=> A\(\ge\)3+2+2+2=9

( Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z )

Vậy GTNN của A là 9 <=> x=y=z

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Tương tự:

$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Cộng theo vế:

$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)

Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)

\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)

Nguyen Anh làm sao tìm được dâu "=" xảy ra thế bạn