a

Nếu  \(y=0\Rightarrow x^2=3025\Rightarrow x=55\)

Nếu \(y>0\Rightarrow3^y⋮3\)

Mà \(3026\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv2\left(mod3\right)\) 9 vô lý

Vậy.....

b

Không mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\)

Ta có:

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{y+1}{y^2}\)

\(\Rightarrow y^2\le2y+2\Rightarrow\left(y^2-2y+1\right)\le3\Rightarrow\left(y-1\right)^2\le3\Rightarrow y\le2\Rightarrow y=1;y=2\)

Với \(y=1\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{x}=0\) ( loại )

Với \(y=2\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=4\)

Vậy x=4;y=2 và các hoán vị

câu a làm cách khác đi bạn

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

<=> \(\frac{y+x}{xy}=\frac{1}{2}\)

<=> \(2x+2y=xy\)

<=> \(2x-xy+2y=0\)

<=> \(x\left(2-y\right)+2y-4+4=0\)

<=> \(x\left(2-y\right)-2\left(2-y\right)=-4\)

<=>\(\left(x-2\right)\left(2-y\right)=-4\)

x;y duong nen ta co x-2 va 2-y la cac uoc cua -4

Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2x+2y}{2xy}=\frac{xy}{2xy}\Rightarrow2x+2y=xy\)

\(\Rightarrow2y-xy=-2x\)

\(\Rightarrow y\left(2-x\right)=-2x\)

\(\Rightarrow y=-\frac{2x}{2-x}\)

\(\Rightarrow y=\frac{2x}{x-2}\)

\(\Rightarrow y=\frac{2x-4+4}{x-2}\)

\(\Rightarrow y=\frac{2\left(x-2\right)+4}{x-2}\)

\(\Rightarrow y=2+\frac{4}{x-2}\)

Vì y là số nguyên dương nên \(2+\frac{4}{x-2}\) dương 

\(\Rightarrow\frac{4}{x-2}\) dương \(\Rightarrow x-2\in\text{Ư}\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)

\(x-2=1=>x=3\left(tm\right)\)

\(x-2=2=>x=0\left(lo\text{ại}\right)\)

\(x-2=4=>x=6\left(tm\right)\)

* Với \(x=3\Rightarrow y=2+\frac{4}{3-2}=2+4=6\left(tm\right)\)

*Với \(x=6=>y=2+\frac{4}{6-2}=2+1=3\left(tm\right)\)

Vậy các cặp số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) cần tìm là  \(\left(3;6\right);\left(6;3\right)\)

Bài này bạn đăng rồi Nguyễn Nhật Minh trả lời đúng rồi mà :

http://olm.vn/hoi-dap/question/314450.html

1)

\(xy-y=x\Leftrightarrow y=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}\)

y thuộc Z => x -1 thuộc U(1) ={ -1;1}

+x =-1 => y =0

+x =1 => y =2

2) \(x.\left(1-\frac{1}{7}\right)<1\frac{6}{7}\Leftrightarrow x.\frac{6}{7}<\frac{13}{7}\Rightarrow x<\frac{13}{7}.\frac{7}{6}=\frac{13}{6}=2,1\left(6\right)\)

x thuộc Z⁺ => x thuộc {1;2}

khỉ gió khó quá

Gắt thế,IMO 2003

Đặt \(S=\frac{x^2}{2xy^2-y^3+1}\)

Xét \(b=1\Rightarrow S=\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}\Rightarrow x=2k\) thỏa mãn 

Xét \(b>1\) Đặt \(\frac{x^2}{2xy^2-y^3+1}=u\)

\(\Rightarrow x^2-2y^2ux+\left(y^3-1\right)u=0\)

Xét \(\Delta=\left(2y^2u\right)^2-4\left(b^3-1\right)u\) phải là số chính phương

Ta dễ dàng chứng minh được \(\left(2y^2u-y-1\right)^2< \Delta< \left(2y^2u-y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(2y^2u-y\right)^2\Rightarrow y^2=4u\)

Đặt \(y=2t\Rightarrow x=t\left(h\right)x=8t^4-t\)

Vậy.........................

Nếu \(x>3,y>3,z>3\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (không thỏa)

Vậy trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số nguyên dương không lớn hơn 3

Không mất tính tổng quát, ta giả sử x là số nhỏ nhất. Vậy thì \(x\le y,x\le z\Rightarrow x=1\) , x = 2 hoặc x = 3

Nếu x = 1 thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow y+z=yz\) (bài toán tìm nghiệm nguyên kinh điển bạn tự làm nhé.)

Nếu x = 2 , x = 3 cũng tương tự.

Ơ hơ mới thấy câu này cách đây vài ngày

Em show lại cách làm :")

Giả sử \(x>3;y>3;z>3\)

thì \(VT< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\left(ktm\right)\)

Vậy trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số nhỏ hơn 3

Mà x,y,z là các số nguyên dương nên

Coi x là số nhỏ hơn 3

\(\left(+\right)x=1\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Leftrightarrow y+z=yz\)

\(\Leftrightarrow y-yz-1+z=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=1\)

Dễ tìm được \(y=2;z=2\) \(\left(y=0;z=0\left(ktm\right)\right)\)

\(\left(+\right)x=2\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2y+2z=3yz\)

\(\Leftrightarrow6y-9yz-4+6z=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(3y-2\right)\left(3z-2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(y,z\right)=\left(1,2\right);\left(2,1\right)\)( một số cặp khác ko thỏa mãn )

Vậy ta có các cặp x,y,z thỏa mãn : \(\left(1,2,2\right);\left(2,2,1\right);\left(2,2,1\right)\)