ĐK \(\hept{\begin{cases}x-y+1\ne0\\x+y-2\ne0\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-y+1}=a\\\frac{1}{x+y-2}=b\end{cases}}\)Hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-3b=-1\\-3a+b=12\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-3\left(12+3b\right)=-1\\b=12+3b\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-7a=35\\b=12+3b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-5\\b=12+3.\left(-5\right)=-3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-y+1}=-5\\\frac{1}{x+y-2}=-3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=-\frac{6}{5}\\x+y=\frac{5}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y-\frac{6}{5}\\2y-\frac{6}{5}=\frac{5}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y-\frac{6}{5}\\y=\frac{43}{30}\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}x=\frac{7}{30}\\y=\frac{43}{30}\end{cases}}}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{7}{30};\frac{43}{30}\right)\)

ĐKXĐ: y \(\ne\)0

\(\hept{\begin{cases}x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{2x}{y}+\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{cases}}\)

<=> ^{\(\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(x+\frac{1}{y}\right)=6\left(1\right)\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{cases}}\)}

Giải pt (1) : Đặt a = \(x+\frac{1}{y}\)

Khi đó ta có pt: a² + a = 6

<=> a² + a - 6 = 0 <=> (a - 2)(a + 3) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}a=2\\a=-3\end{cases}}\)

* Với a = 2, ta có \(x+\frac{1}{y}\) = 2 => \(\frac{x}{y}=3-2=1\)<=> x = y

Thay x = y vào pt:  \(x+\frac{1}{y}\) = 2  ta dc:

y + \(\frac{1}{y}=2\) <=> y² + 1 = 2y <=> y² - 2y + 1 = 0 <=> (y - 1)² = 0 <=> y = 1 (tmđk) => x = 1

* Với a = -3, ta có \(x+\frac{1}{y}\) = -3 => \(\frac{x}{y}=3+3=6\)<=> x = 6y

Thay x = 6y vào pt:  \(x+\frac{1}{y}=-3\)ta dc:

\(6y+\frac{1}{y}=-3\) <=> 6y² + 1 = -3y <=> 6y² + 3y + 1 = 0 (\(\Delta=-15\)<0 ) (VN)

Vậy nghiệm của hpt là: (1;1)
P/S: xem lại nhé, t làm hơi ẩu

Có: \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x+y-3\ne0\\x-y+1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne3-y\\x\ne y-1\end{cases}}}\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}x+y-3=a\\x-y+1=b\end{cases}}\)(1)

\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{5}{a}-\frac{2}{b}=8\\\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1,5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{5}{a}-\frac{2}{b}=8\\\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{11}{a}=11\Leftrightarrow a=1}\)

Bn giải b xong rồi giải tiếp HPT (1)

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\left(1\right)\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\left(2\right)\\x^2+y^2+z^2=17\left(3\right)\end{cases}}\left(DK:x,y,z\ne0\right)\)

Ta co:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3>\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{3}\)

Vay HPT vo nghiem

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)\ge2+2=4\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)

Xét từng cặp giá trị của x,y vào phương trình \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{xy}=\frac{3}{2}\)

Thấy cặp (x;y) thõa mãn đề bài là (1;1)

Vậy ...... 

Điều kiện xác định : \(\hept{\begin{cases}x\ne-y\\x,y\ne0\end{cases}}\)

Đặt \(\frac{1}{2x-y}\)= a, \(\frac{1}{x +y}\)= b, ta có \(\hept{\begin{cases}3a-6b=1\\a-b=0\end{cases}}\)

Giải hệ phương trình được a=\(\frac{-1}{3}\), b=\(\frac{-1}{3}\)
 

ta có điều kiện \(x\ne0;y\ne0\)ta có

\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+3=x^3y^3\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3+\left(-x^3y^3\right)=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\left(-xy\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-xy\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-xy=0\end{cases}}\)

TH1 : ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-xy\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\1=-x^2y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}}}\)(thử zô (1) ko thỏa mãn )

TH2 :ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-xy=0\Leftrightarrow x+y=\left(xy\right)^2\)ta có

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=3+x^2y^2\Leftrightarrow xy\left(3xy+2\right)=0\Leftrightarrow xy=-\frac{2}{3}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=3+x^2y^2\left(1\right)\\\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+3=x^3y^3\left(2\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=3+x^2y^2\\\orbr{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-xy\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-xy=0\end{cases}}\end{cases}}}\)zậy \(\hept{\begin{cases}x+y=\left(xy\right)^2\\xy=-\frac{2}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{58}}{9}\\y=\frac{2-\sqrt{58}}{9}\end{cases}hoặc\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{58}}{9}\\y=\frac{2+\sqrt{58}}{9}\end{cases}}}}\)

51222114