Gỉa sử n=3=>3n+1=3.3+1=9+1=10

                      4n+2=4.3+2=12+2=14

mà (10,14)=2

=>Vô lí

Bạn xem lại đề nha.

Ta có: A=(n²+3n)(n²+3n+2)

Đặt n²+3n=x ==>A=x(x+2)=x²+2x 

Theo bài ra A là scp ==>x²+2x là SCP 

Mà x²+2x+1 cũng là SCP

Hai SCP liên tiếp chỉ có thể là 0và1 ==>A=0==>x=0==>n²+3n=0<=>n=0

cho mik nhé

Ta có A = n(n+3)(n+1)(n+2) = (n² + 3n)(n² + 2n + 2)

Đặt n² + 3n = t thì

A = t(t+2)

Ta có t² < t² + 2t = A < (t + 1)² = t² + 2t + 1

Giữa hai số chính phương liên tiếp không tồn tại 1 số chính phương

Vậy A không phải là số chính phương 

a) Đề:..........

Gọi d là ƯC của 7n + 10; 5n + 7

=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(7n+10\right)⋮d\\7.\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

=> (35n + 50) - (35n + 49) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Đề:............

Gọi d là ƯC của 2n + 3; 4n + 8

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2.\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

=> (4n + 8) - (4n + 6) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(2)

=> d = {1; 2}

Mà 2n + 3 là số lẻ (không thỏa mãn)

=> 1 chia hết cho d

Vậy 2n + 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Đối với bài này, đầu tiên lấy n = 1, 2 để biết gợi ý phân tích số thành nhân tử, rồi sau đó khái quát lên.

Với n = 1, số trở thành 121 = 11 x 11

Với n = 2, số trở thành 11211 = 111 x 101

Vậy khái quát hóa lên:

       11...1211...1 = 11..11 x 100...01 (số thứ nhất có n+1 chữ số 1, só thứ hai có số đầu tiên và cuối cùng là 1 và n-1 chữ số 0 ở giữa.

Để chứng minh trường hợp tổng quát trên cũng rất dễ, có thể đặt phép nhân theo hàng dọc là ra:

      11...11

   x 10...01

      11..   1

11..1

11...21....1

Hoặc cách khác là:

   11...11 x 10...01 = 11...11 x (10ⁿ +1) = 11...11 x 10ⁿ + 11...11

= 11...1100...0 + 11...11 = 11...1211...1

Bản chất hai cách nhân như nhau cả. 

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

dài dữ vậy

Gọi d = ƯCLN _{( 5n+6 ; n+1 )}

=> \(5n+6⋮d;n+1⋮d\)

=> \(5n+6⋮d;5.\left(n+1\right)⋮d\)

=> \(5n+6⋮d;5n+5⋮d\)

=> \(\left(5n+6\right)-\left(5n+5\right)⋮d\)

=> \(5n+6-5n-5⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

=> ƯCLN _{( 5n+6 ; n+1 )}  = 1

=> 5n+6 và n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n ( đpcm )

Vậy bài toán được chứng minh !

              Cbht ❤️

Đặt ƯCLN(5n+6,n+1)=d

Ta có: \(n+1⋮d\Rightarrow5\left(n+1\right)⋮d\)\(\Rightarrow5n+5⋮d\)

                                                       mà: \(5n+6⋮d\)

\(\Rightarrow\left(5n+6\right)-\left(5n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d\in\)Ư(1)

Mà d lớn nhất=> d=1 =>ƯCLN(n+1,5n+6)=1 

=>. n+1 và 5n+6 là 2 số nguyên tố cùng nhau\(\forall n\in Z\)

Gợi ý:

Gọi ƯCNL \('5n+6,n+1'=d\Rightarrow'5n+6'⋮d;'n+1'⋮d\)

Ta có, \(5n+6=5'n+1'+1\) 

Vì \(5'n+1'⋮d\) nên suy ra \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy 5n + 6 và n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n 

Các phân số đã cho có dạng \(\frac{a}{a+\left(n+2\right)}\)

Để \(\frac{a}{a+\left(n+2\right)}\) là phân số tối giản \(\Rightarrow\left(a;a+n+2\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(a;n+1\right)=1\) Mà n nhỏ nhất

\(\Rightarrow\) n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất > 100 \(\Rightarrow n+2=101\)

\(\Rightarrow n=99\)

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>aa+(n+2) 

Để aa+(n+2)  là phân số tối giản ⇒(a;a+n+2)=1

⇒(a;n+1)=1 Mà n nhỏ nhất

⇒ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất > 100 ⇒n+2=101