Gọi \(d\inƯC\left(12n+1;30n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)=1\)

hay phân số \(A=\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản(đpcm)

Gọi d∈ƯC(12n+1;30n+2)d∈ƯC(12n+1;30n+2)

⇔⎧⎨⎩12n+1⋮d30n+2⋮d⇔⎧⎨⎩60n+5⋮d60n+4⋮d⇔{12n+1⋮d30n+2⋮d⇔{60n+5⋮d60n+4⋮d

⇔60n+5−60n−4⋮d⇔60n+5−60n−4⋮d

⇔1⋮d⇔1⋮d

⇔d∈Ư(1)⇔d∈Ư(1)

⇔ƯCLN(12n+1;30n+2)=1⇔ƯCLN(12n+1;30n+2)=1

vậy 

Ta chứng minh phân số này có tử và mẫu là  hai số nguyên tố cùng nhau .

 Gọi $d$  là ước chung của $\frac{12n+1}{30n+2}$

Ta có :

$5(12n+1)-2(30n+2)=1⋮d$

 Vậy $d=1$  nên $12n+1$ nguyên tố cùng nhau.

⇒ $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản

\(A=\frac{12n+1}{30n+2}\)

Gọi \(d\inƯC\left(12n+1,30n+2\right)\)

Ta có :

\(5\left(12n+1\right)-2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow60n+5-60n+4⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

Để \(\dfrac{10n^2+9n+4}{20n^2+20+9}\) tối giản

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮1;20n^2+20n+9⋮1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow2\left(10n^2+9n+4\right)-\left(20n^2+20n+9\right)⋮1\)

\(\Rightarrow20n^2+18n+8-20n^2-20n+9⋮1\)

\(\Rightarrow-2n-1⋮1\) (luôn đúng \(\forall n\in N\))

\(\Rightarrow dpcm\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số 10�2+9�+420�2+20�+920n2+20n+910n2+9n+4​ tối giản

gọi ( n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1 ) = d

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow n^2+1⋮d}\)

Mà n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\)d

= n⁴ + 2n² + n² + 1

= ( n⁴ + 2n² + 1 ) + n² 

= ( n² + 1 ) ² + n² \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)n² \(⋮\)d

\(\Leftrightarrow\)1 \(⋮\)d

Tham khảo nha bạn! Mình không có thời gian!

Link:

tth 

Đs

Gọi a là ước chung của n^3 +2n và n^4 + 3n^2 + 1

n^3 + 2n chia hết cho a => n(n^3 + 2n) chia hết cho a = > n^4 + 2n^2 chia hết cho a (1)

n^4 + 3n^2 + 1 - (n^4 + 2n^2 )= n^2 +1 chia hết cho a = > (n^2 + 1) ^ 2 = n^4 + 2n^2 + 1  chia hết cho d (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

(n^4 + 2n^2 + 1) - (n^4 + 2n ^2 ) chia hết cho a = > 1 chia hết cho a = > a = + - 1

Vậy phân số trên tối giản vì mẫu tử có ước chung là n + 1

Gọi d=ƯCLN(7n+1;6n+1)

=>42n+6-42n-7 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

Gọi d=ƯCLN(n+1;n+2)

=>n+1-n-2 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

Tiếp theo bài giải của bạn Nguyễn Thanh Hằng

\(2n+1⋮d\\ \Rightarrow5n\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow10n^2+5n⋮d\Rightarrow\left(10n^2+9n+4\right)-\left(10n^2+5n\right)⋮d\\ \Rightarrow4n+4⋮d\Rightarrow4.\left(n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow n+1⋮d\)

Vì d lẻ do 2n+1 chia hết cho d

\(\Rightarrow2n+2⋮d\\ \Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow1⋮\left(đpcm\right)\)

Gọi \(d=ƯCLN\left(10n^2+9n+4;20n^2+20n+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10n^2+9n+4⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n^2+18n+8⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2n+1⋮d\)

đên đây thì bí