Nối A và E lại ta có tam giác BAE cân tại B (vì BE=BA). Ta có góc BAE + góc CAE = góc ABC 
=90 độ. Mặt khác góc CAE + góc AEK = góc EKA = 90 độ => góc BAE = góc AEK. Mà góc BAE = góc BEA (tam giác BAE cân tại B) => góc AEK = góc BEA. Xét tam giác vuông AHE và AKE bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông (AE chung) góc nhọn kề (góc AEK = góc BEA) => AK = AH (đpcm)

ΔBAEΔBAE có:

BE=AB(gt)BE=AB(gt)

⇒ΔBAE⇒ΔBAE cân tại BB

⇒BAEˆ=BEAˆ⇒BAE^=BEA^(1)(1)

Ta có: BA⊥ACBA⊥AC ( ΔABCΔABC vuông tại AA )

EK⊥AC(gt)EK⊥AC(gt)

Nên: BABA // EKEK

⇒BAEˆ=AEKˆ(2)⇒BAE^=AEK^(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BEAˆ=AEKˆBEA^=AEK^

Xét ΔAHEΔAHE và ΔAKEΔAKE có:

Hˆ=Kˆ(=90o)H^=K^(=90o)

BEAˆ=AEKˆ(cmt)BEA^=AEK^(cmt)

ACAC là cạnh huyền chung

⇒ΔAHE=ΔAKE⇒ΔAHE=ΔAKE ( cạnh huyền - góc nhọn )

⇒AH=AK

a)Tam giác BAE có BE=BA (gt)

=> tam giác BAE cân tại B

=>góc BEA=góc BAE

Mà góc AEK=góc BAE

=>góc BEA=góc AEK

Vậy EA là pgiac của góc BEK

b) Tam giác AHE vuông tại H và tam giác AKE vuông tại K có:

       AE là cạnh chung

      góc HEA=góc KEA(cmt)

=>tam giác AHE-=tam giác AKE (c.huyền-g.nhọn)

=>AH=AK

a) Ta có EK \(\perp\)AC (gt)

Mà AB \(\perp\)AC (tam giác ABC vuông tại A)

=> EK // AB

Nên \(\widehat{BAE}\)=\(\widehat{AEK}\)(1)

Ta lại có AB = BE

=> Tam giác ABE cân tại B

Nên \(\widehat{BAE}\)= \(\widehat{AEB}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AEB}\)= \(\widehat{AEK}\)

Hay EA là phân giác của góc BEK

b) Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông AKE có

AE: cạnh chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{AEK}\)

=> Tam giác vuông AHE = tam giác vuông AKE (ch-gn)

=>AK = AH (đpcm)

a) Ta có bd = ba (do đường cao ah là đường cao của tam giác vuông abc), và bd = ba nên tam giác abd là tam giác cân tại b.
Do đó, ad là đường phân giác của góc hacb (do ad là đường phân giác của tam giác abd).

b) Vẽ dk vuông góc với ac tại k. Ta cần chứng minh ak = ah.
Ta có tam giác akd vuông tại k, và tam giác ahd vuông tại h.
Do đó, ta cần chứng minh tam giác akd đồng dạng với tam giác ahd.
Ta có:
- Góc akd = góc ahd (vuông góc với ac)
- Góc kda = góc hda (cùng là góc nhọn)
- Cạnh ad chung
Do đó, tam giác akd đồng dạng với tam giác ahd.
Vậy, ak = ah.

c) Ta cần chứng minh ab + ac < bc + ah.
Ta có:
ab + ac = ab + ad + dc (do ad là tia phân giác của góc hacb)
= ab + ak + kc (do ak = ah và dk vuông góc với ac)
= ab + ah + kc (do ak = ah)
= ab + ah + hc (do kc = hc)
= ab + ah + bc (do ah là đường cao của tam giác abc)
= bc + ah + ab
= bc + ah + ba (do ab = ba)
= bc + ah.
Vậy, ab + ac < bc + ah.

\(\Delta BAE\)cân tại \(B\)nên \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\).

\(\widehat{KEA}=\widehat{BAE}\)(vì cùng phụ với góc \(\widehat{KAE}\))

Suy ra \(\widehat{KEA}=\widehat{BEA}\)

Xét tam giác \(AKE\)và tam giác \(AHE\)có: 

\(\widehat{AKE}=\widehat{AHE}=60^o\)

\(AE\)cạnh chung

\(\widehat{KEA}=\widehat{BEA}\)

Suy ra \(\Delta AKE=\Delta AHE\)(cạnh huyền - góc nhọn) 

\(\Rightarrow AK=AH\).