4788

 Giả sử 
(7n+2,2n+1) =k với k# 3 
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3) 
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k 
=> (n-1, 2n+1) =k (*) 
Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ 
Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k 
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k 
=> (2n+1,3) =k 
do k # 3 => k=1 
Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau 
Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3 
=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau 
Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài) 
Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

  Giả sử 
(7n+2,2n+1) =k với k# 3 
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3) 
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k 
=> (n-1, 2n+1) =k (*) 

Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ 

Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k 
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k 
=> (2n+1,3) =k 

do k # 3 => k=1 

Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau 

Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3 

=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau 

Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài) 

Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

Tick nhé Nguyen Thi Le Giang

Giả sử 
(7n+2,2n+1) =k với k# 3 
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3) 
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k 
=> (n-1, 2n+1) =k (*) 

Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ 

Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k 
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k 
=> (2n+1,3) =k 

do k # 3 => k=1 

Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau 

Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3 

=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau 

Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài) 

Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

Gọi \(ƯCLN\left(3n+1;7n+2\right)=d\)

\(\Rightarrow3n+1⋮d\)\(\Rightarrow7\left(3n+1\right)⋮d\)\(\Rightarrow21n+7⋮d\)(1)

\(7n+2⋮d\)\(\Rightarrow3\left(7n+2\right)⋮d\)\(\Rightarrow2n+6⋮d\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(21n+7\right)-\left(21n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow21n+7-21n-6⋮d\)\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(3n+1\)và \(7n+2\)nguyên tố cùng nhau với mọi n

mà \(10< n< 1000\)

Vậy \(10< n< 1000\)

Gọi ƯCLN ( 3n+1;7n+2 ) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\7n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}7\left(3n+1\right)⋮d\\3\left(7n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}21n+7⋮d\\21n+6⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left[\left(21n+7\right)-\left(21n+6\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow...\)

Vậy 3n+1 và 7n+2 nguyên tố cùng nhau

   Hình như đề sai nhỉ ?

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, 7n+2)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; 7n+2\vdots d$

$\Rightarrow 7(2n+1)-2(7n+2)\vdots d$

$\Rightarrow 3\vdots d$

Để 2 số trên nguyên tố cùng nhau thì $(3,d)=1$

$\Rightarrow 2n+1\not\vdots 3\Rightarrow 2n-2\not\vdots 3$

$\Rightarrow 2(n-1)\not\vdots 3$

$\Rightarrow n-1\not\vdots 3$

$\Rightarrow n\neq 3k+1$ với $k$ tư nhiên.

Mà $10< n< 1000$ nên:

$n\neq \left\{13; 16; 19; 22;....; 997\right\}$