1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka₁, c=kc₁ và (a₁,c₁)=1

Thay vào ab=cd được ka₁b=bc₁d nên

a₁b=c₁d  (1)

Ta có: a₁b \(⋮\)c₁ mà (a₁,c₁)=1 nên b\(⋮\)c₁. Đặt b=c₁m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a₁c₁m =  c₁d nên a₁m=d

Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)

\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)

Do a₁, c₁, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)

2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.

Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.

Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)

b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a² chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)

Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......

3. a) Xét hiệu \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2.3=6\)( tích của 3 số nguyên liên tiếp)

Tương tự: \(b^3-b⋮6\)và \(c^3-c⋮6\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\Leftrightarrow a+b+c⋮6\)

b) Ta có: \(30=2.3.5\)và 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau.

Theo định lý Fermat: \(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)

\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^5\equiv a^3\equiv a\left(mod3\right)\)

\(a^5\equiv a\left(mod5\right)\)

Theo tính chất của phép đồng dư, ta có:

\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2\right)\)

\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod3\right)\)

\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod5\right)\)

Do đó: \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\). Tức là nếu a+b+c chia hết cho 30 thì ....(đpcm)

a/ 

\(\overline{aba}=101.a+10b=98a+3a+7b+3b=\)

\(=\left(98a+7b\right)+3\left(a+b\right)\)

\(98a+7b⋮7;\left(a+b\right)⋮7\Rightarrow3\left(a+b\right)⋮7\)

\(\Rightarrow\overline{abc}=\left(98a+7b\right)+3\left(a+b\right)⋮7\)

b/ xem lại đề bài

Câu trả lời hay nhất:  + ta chứng minh a,b,c có ít nhất một số chia hết cho 3 
giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3 
=> a^2 = 1 (mod3) và b^2 = 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoạc chia 3 dư 1) 
=> a^2 + b^2 = 2 (mod3) nhưng c^2 = 1 (mod3) => mâu thuẫn 
Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 
+ tương tự,có ít nhất 1 số chia hết cho 4,vì giả sử cả 3 số a,b,c đều không chia hết cho 4 
=> a^2 = 1 (mod4) và b^2 = 1 (mod4) => a^2 + b^2 = 2 (mod 4) nhưng c^2 = 1 (mod 4) => mâu thuẫn 
vậy có ít nhất 1 số cgia hết cho 4 
+ tương tự a^2 = 1 (mod 5) hoạc a^2 = -1 (mod 5) hoạc a^2 = 4 (mod 5) 
và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3 
=> phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 
Vậy abc chia hết cho BCNN(3,4,5) = 60 hay abc chia hết 60

a+5b ⋮ 7
=> 3(a+5b) ⋮7
=> 3a+15b⋮7
=> 3a+15b +7a -14b⋮7
=> 10a+b⋮7
chúc bn hok tốt ^_^

Ta có : 83a + 38b chia hết cho 17

Suy ra : 17a +83a + 38b + 17b chia hết cho 17

Suy ra 100a +55b chia hết cho 17

Suy ra 5×(20a +11b ) chia hết cho 17

Suy ra 20a +11b chia hết cho 17 ( do5 không chia hết cho 17) 

Vậy 83a +38b chia hết cho 17 thì 20a +17b chia hết cho 17

a)

gọi 3 số chẵn liên tiếp là 2x,4x,6x( x là số tự nhiên)

ta có 2x+4x+6x=12x chia hết cho 6

=> Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6

b)

gọi 3 số lẻ liên tiếp là 3k-1 , 3k  , 3k+1( k là số tự nhiên)

ta có 3k-1+3k+3k+1=9k chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 2

=>  Tổng ba số lẻ liên tiếp ko chia hết cho 6

c) 

a chia hết cho b=> a=b.x(x là số tự nhiên)

b chia hết cho c=> b= c.y(y là số tự nhiên)

thay b=c.y, ta có a= c.y.x chia hết cho c

=> Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

d)

a chia hết cho 7=> a = 7x ( x là số tự nhiên)

b chia hết cho 7=> b=7y(y là số tự nhiên)

a-b=7x7t=7(x-y) chia hết  cho 7

=> Nếu a và b chia hết cho 7 có cùng số dư thì hiệu a - b chia hết cho 7

học tốt

a) Gọi 3 số chẵn liên tiếp lần lượt là 2n, 2n+2, 2n+4

Tổng của ba số chẵn liên tiếp là:   2n + 2n+2 + 2n+4

                                              =     6n+6

                                              =     6(n+1) chia hết cho 6

Vậy tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6

a)Gọi 3 số chẵn liên tiếp đó là 2a;2a+2;2a+4(a là số nguyên)

Ta có:(2a)+(2a+2)+(2a+4)=6a+6=6(a+1) chia hết cho 6(đpcm)

b)phần này làm tương tự phần a(số lẻ là 2k+1;2k+3;2k+5)

c)Vì a chia hết cho b=>a=bk(k là số nguyên)

Vì b chia hết cho c=>b=cq(q là số nguyên)

Thay cq vào b ta có:

a=bk=c(qk),mà k;q là số nguyên=>a chia hết cho c

d)Gọi số dư đó là c(0<a<7)

Ta có:a=7k+c       (k,q là số tự nhiên)

          b=7q+c

Ta có:a-b=(7k+c) - (7q+c)

              =7k - 7q

              =7(k - q),mà k,q là số tự nhiên

=>a-b chia hết cho 7(đpcm)

k cho mk vs,mk làm mất 10 phút đấy!Cute nha<3

Câu này bạn làm được chưa bạn có nhớ mình là ai không nếu chưa giải được mình giải cho

\(A=a^6-1=\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)

Nếu a không chia hết cho 7

+ a =7k +1   =>a-1 = 7k chia hết cho 7 => A chia hết cho 7

+a = 7k +2 => a² +a +1 = (7k +2)² + 7k +2 +1 = 7(7k² +3k +1) chia hết cho 7 => A chia hết cho 7

Tương tụ 

+a =7k +3 => a² -a +1 chia hết cho 7  => A chia hết chi 7

+a =7k +4 

+a =7k +5

+a =7k+6 

Vậy ........