Áp dụng BĐT |a|+|b|≥|a+b| ta có:

P=|x−2012|+|x−2013|

=|2012−x|+|x−2013

≥|2012−x+x−2013|=1

Đẳng thức xảy ra khi 2012≤x≤2013

Vậy với 2012≤x≤2013 thì PMin=1

AI GIÚP MIK VỚI

ta có: \(\frac{2011-4022:\left(x-2009\right)}{2011\times2012\times2013}\)

\(M=\frac{2011-2\times2011:\left(x-2009\right)}{2011\times2012\times2013}\)

\(=\frac{2011\times\left(1-2:\left(x-2009\right)\right)}{2011\times2012\times2013}\)

\(=\frac{1-2:\left(x-2009\right)}{2012\times2013}\ge0\)

Để M có giá trị nhỏ nhất 

\(\Rightarrow\frac{1-2:\left(x-2009\right)}{2012\times2013}=0\)

=> 1 - 2: (X-2009) = 0 : ( 2012 x 2013)

1-2:(X-2009) = 0

2: (X-2009) = 1

X-2009 = 2

X = 2 +2009

X=2011

KL: Giá trí nhỏ nhất của M là 0 tại X =2011

P=|x-2013|+|x-2014|

=> P = |x-2013| +|2014-x|

Áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

| x - 2013 | + | 2014 - x | >hoặc = | x - 2013 + 2014 -x | = 1 với mọi x

Dấu = xảy ra <=> (x-2013)(2014-x) >hoặc = 0

                      =>(x-2013)(x-2014)< hoặc =0

=>x-2013 và x-2014 trái dấu

     x-2013>x-2014

 =>x-2013>hoặc = 0 và x-2014 < hoặc = 0

2013< hoặc =x< hoặc = 2014

       Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 tại 2013< hoặc = x < hoặc = 2014

a)Để  \(A=2003-\frac{1003}{999-x}\) có giá trị nhỏ nhất

\(\Rightarrow\frac{1003}{999-x}\) có giá trị lớn nhất

\(\frac{1003}{999-x}\ge1003\) 

Dấu "=" xảy ra khi

\(\frac{1003}{999-x}=1003\)

=> 999 - x = 1

x = 999-1

x = 998

=> giá trị nhỏ nhất của \(A=2003-\frac{1003}{999-998}=2003-1003=1000\) tại x = 998

b) Để \(A=2003-\frac{1003}{999+x}\) đạt giá trị nhỏ nhất

=> \(\frac{1003}{999+x}\) có giá trị lớn nhất

mà x là số tự nhiên

\(\Rightarrow\frac{1003}{999+x}\ge\frac{1003}{999}\)

Dấu "=" xảy ra khi

1003/(999+x) = 1003/999

=> 999 + x = 999

x = 0

=> giá trị nhỏ nhất của A = 2003 - 1003/999+0  = 2003 - 1003/999 = 2002 và 4/999 tại x = 0

Để \(A=4010-2011:\left(2012-x\right)\) có GTNN thì\(2011:\left(2012-x\right)\) có GTLN

\(2011:\left(2012-x\right)\) có GTLN khi \(2012-x\) có GTNN

Theo đề bài,ta có:

Vì \(x\) là STN

\(\Rightarrow\)\(2012-x=1\)

\(\Rightarrow x=2012-1\)

\(\Rightarrow x=2011\)

Vậy ...

A = 4010 - \(\dfrac{2011}{2012-x}\)

A nhỏ nhất khi \(\dfrac{2011}{2012-x}\) đạt giá trị lớn nhất

\(\dfrac{2011}{2012-x}\) đạt giá trị lớn nhất khi

    2012 - \(x\) = 1

               \(x\) = 2012 - 1

                \(x\)  = 2011

\(A=4010-2011:\left(2012-x\right)\) có giá trị nhỏ nhất.

⇒\(A\) nhỏ nhất lúc \(2011:\left(2012-x\right)\) có giá trị lớn nhất.

⇒ \(2012-x=1\\ x=2012-1\\ x=2011\)         Vậy \(x=2011\).