Giả sử \(1!+2!+3!+4!+...+n!=x^2\left(x\in N\right)\)(*)

Xét  \(n=1\)khi đó \(VT\)(*)=1 là số chính phương

Xét  \(n=2\)khi đó \(VT\)(*)=5 không là số chính phương

Xét \(n=3\)khi đó \(VT\)(*)=9 là số chính phương

Xét \(n=4\) khi đó \(VT\)(*)=33 không là số chính phương

Xét \(n\ge5\)khi đó \(VT\)(*)=\(33+5!+6!+...+n!\), ta nhận thấy \(5!+6!+...+n!⋮5\)

\(\Rightarrow33+5!+6!+...+n!\)chia \(5\)dư \(3\)

Mà vế phâi (*) \(x^2\)là số chính phương nên chia cho 5 chỉ dư 0 hoặc 1 hoặc 4, không thể bằng vế trái.

Tổng hợp tất cả các trường hợp trên ta được \(n=1\)hoặc \(n=3\)

Đặt A=n^4+n^3+1 

với n=1=>A=3=>loại

với n\(\ge\)2 ta có: (2n²+n−1)2< 4A ≤(2n²+n) => 4A = ( 2n²+ n )²  => n = 2 ( thỏa mãn )

- bạn trả lời rõ ra 1 chút đc ko?

Đặt A=n^4+n^3+1 

với n=1=>A=3=>loại

với n>=2 ta có:\(\left(2n^2+n-1\right)^2< 4A\le\left(2n^2+n\right)^2\)=> \(4A=\left(2n^2+n\right)^2\)

-Giải PT này ra có n=2
mk ngồi giải lại ntn ms đúng

Để S là số chính phưong => 1! + 2! + 3! + ... + n! = m^2

Với n = 1 thì S = 1! = 1 là số chính phưong

Với n = 2 thì S = 1! + 2! = 3 không là số chính phưong

Với n = 3 thì S = 1! + 2! + 3! = 9 là số chính phưong

Với n = 4 thì S = 1! + 2! + 3! + 4! = 33 không là số chính phưong

Với n > 5 thì S có tạn cùng là 3 ( Vì 5! tạn cùng là 0, 6!, 7!, 8!, ... cũng tận cùng là 0 cộng với 33 là tổng các giai thùă của bốn số đầu khác 0)

Vậy n = 1; n = 3

Để S là số chính phưong => 1! + 2! + 3! + ... + n! = m^2

Với n = 1 thì S = 1! = 1 là số chính phưong

Với n = 2 thì S = 1! + 2! = 3 không là số chính phưong

Với n = 3 thì S = 1! + 2! + 3! = 9 là số chính phưong

Với n = 4 thì S = 1! + 2! + 3! + 4! = 33 không là số chính phưong

Với n > 5 thì S có tạn cùng là 3 ( Vì 5! tạn cùng là 0, 6!, 7!, 8!, ... cũng tận cùng là 0 cộng với 33 là tổng các giai thùă của bốn số đầu khác 0)

Vậy n = 1; n = 3

1 co the bang 1 hoac 3

Với \(n\ge5\): 

\(1!+2!+3!+4!+5!+...+n!\equiv\left(1!+2!+3!+4!\right)\left(mod10\right)\equiv3\left(mod10\right)\)

Vì \(k!=1.2.3.....k=\left(2.5\right).1.3.4.6.....k\)(Với \(k\ge5\))

mà số chính phương không thể có tận cùng là \(3\)nên loại. 

Tính trực tiếp với các trường hợp \(n=1,2,3,4\)ta được \(n=1\)và \(n=3\)thỏa mãn. 

10 \(\le\)n \(\le\)99 => 21 < 2n + 1 < 199 và 31 < 3n + 1 < 298

Vì 2n + 1 là số lẻ mà 2n + 1 là số chính phương

=> 2n + 1 thuộc { 25 ; 49  ; 81 ; 121 ;  169 } tương ứng số n thuộc { 12; 24; 40; 60; 84 } ( 1 )

Vì 3n + 1 là số chính phương và 31 < 3n + 1 < 298

=> 3n + 1 thuộc { 49 ; 64 ; 100 ; 121 ; 169 ; 196 ; 256 ; 289 } tương ứng n thuộc { 16 ; 21 ; 33 ; 40 ; 56 ; 65 ; 85 ; 96 } ( 2 )

Từ 1 và 2 => n = 40 thì 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương

bài cô giao đi hỏi 

chịu thôi

...............................

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương 
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . 
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

+)  Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 
+)  Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
+)  Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương 
+)  Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . 
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3