Gọi số ngày ít nhất để hai bạn lại cùng làm là a (ngày)

Theo đầu bài ta có: a chia hết cho 10 ; a chia hết cho 12 => a ∈ BC(10,12)

Mà a là ít nhất => a = BCNN(10,12) = 2 2 .3.5 = 60

Vậy sau ít nhất 60 ngày thì hai bạn lại dọn phòng cùng nhau

Số ngày để việc trực nhật của An lặp lại là một bội của 10, của Bách là một bội của 12. Do đó khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật sau là những bội chung của 10 và 12. Vì thế khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật thứ hai là BCNN (10, 12).

Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 22 . 3 => BCNN (10, 12) = 60.

Vậy ít nhất 60 ngày sau hai bạn mới lại cùng trực nhật. 

Gọi số ngày cần tìm là a (ngày) (a\(\in\)N*)

Theo bài ra, ta có:

a là nhỏ nhất.

a chia hết cho 10

a chia hết cho 12

=> a = BCNN(10; 12)

=> a = 60.

Vậy ...

Gọi số ngày phải tìm là a => a = BCNN(12,10)

Ta có:  12 = 2 2 . 3 10 = 2 . 5

=> BCNN(12,10) =  2 2 . 3 . 5 = 60

Vậy sau ít nhất 60 ngày thì hai bạn lại trực nhật cùng nhau

Giả sử sau x ngày An và Bách lại cùng trực nhật.

An cứ 10 ngày trực nhật một lần nên x là bội của 10.

Bách cứ 12 ngày trực nhật một lần nên x là bội của 12.

Suy ra x ∈ BC(10; 12).

Mà x ít nhất nên x = BCNN(10; 12).

10 = 2.5; 12 = 22. 3

⇒ x = BCNN(10; 12) = 22.3.5 = 60.

Vậy sau 60 ngày An và Bách lại cùng trực nhật.

BCNN (10, 12)

Ta có:

10 = 2.5

12 = 2² . 3

=> BCNN (10, 12) = 60

Vậy ít nhất 60 ngày sau hai bạn mới lại cùng trực nhật