https://olm.vn/hoi-dap/detail/4762440095.html

Ta có: p4 – q4 = (p4 – 1 ) – (q4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p4 – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p4 –1  = (p –1) (p + 1) (p2 +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p2  là số lẻ ->  p2 +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p4 – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p4 – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p4 – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p2 + 1 = (5k +2)2  +1  = 25k2  + 20k +5  5 --> p4 – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p2 +1 = 25k2 + 30k +10 --> p4 –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p4 – 1  5                                            

Vậy p4 – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1  240

Tương tự ta cũng có q4 – 1  240                                                                   

Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1)  = p4 – q4    240

chúc bạn học tốt :)

Số nguyên tố lớn hơn 5 có dạng 3k + 1 hoặc 3 k + 2.

Thay từng trường hợp vào thì chứng minh được.

**** thì anh kết bạn với chú !

mjnh viết nhầm q⁴ nha 

Vì p là số nguyên tố và lớn hơn 5 nên p lẻ 

Khi đó : 

Dễ thấy,  chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 4.

Nên 

Lại có \(p^4-q^4\)

\(=\left(p^4-1\right)-\left(q^4-1\right)\\ =\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)-\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

Vì p nguyên tố và lớn hơn 5 nên \(p⋮̸3\)

Mà \(\left(p-1\right)p\left(p+1\right)⋮3\)

Lại có : 

\(=\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)+5\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Nên \(p^4-1⋮15\)

Tương tự 

Nên \(p^4-q^4⋮15\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow p^4-q^4⋮240\)

Bạn xem bài này nhé!

http://olm.vn/hoi-dap/question/60049.html

Rút được ra là:

p⁴-1 chia hết cho 240 với mọi số nguyên tố p>5

Đoạn p,q là p mũ 4 và q mũ 4 nha
 

em mớ lớp 5 nên không biết

a)Xét p=2

=>p+10 = 12 (loại0

p=3 =>p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.nếu p>3 =>p=3k+1 , p=3k+2

TH1:p = 3k+1 =>p+14=3k+1+14=3k+15(loại)

TH2:p=3k+2=>p+10=3k+2+10=3k+12(loại)

=>p=3

Ta có: p⁴ – q⁴ = (p⁴ – 1 ) – (q⁴ – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p⁴ – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p⁴ –1  = (p –1) (p + 1) (p² +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p²  là số lẻ ->  p² +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p⁴ – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p⁴ – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p⁴ – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p² + 1 = (5k +2)²  +1  = 25k²  + 20k +5  5 --> p⁴ – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p² +1 = 25k² + 30k +10 --> p⁴ –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p⁴ – 1  5                                            

Vậy p⁴ – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p⁴ – 1  240

Tương tự ta cũng có q⁴ – 1  240                                                                   

Vậy: (p⁴ – 1) – (q⁴ –1)  = p⁴ – q⁴    240

Xét p,q có dạng 2k + 1 hoặc 5k + 1 (k là số tự nhiên)

Ta có: p⁴ – q⁴ = (p⁴ – 1 ) – (q⁴ – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p⁴ – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p⁴ –1  = (p –1) (p + 1) (p² +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p²  là số lẻ ->  p² +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p⁴ – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p⁴ – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p⁴ – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p² + 1 = (5k +2)²  +1  = 25k²  + 20k +5  5 --> p⁴ – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p² +1 = 25k² + 30k +10 --> p⁴ –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p⁴ – 1  5                                            

Vậy p⁴ – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p⁴ – 1  240

Tương tự ta cũng có q⁴ – 1  240                                                                   

Vậy: (p⁴ – 1) – (q⁴ –1)  = p⁴ – q⁴    240

Ta có: p4-q4-(p4-1)-(q4-1); 240 - 8.2.3.5. Ta cần chứng minh p4-1 chia hết cho 240

- Do p là số nto lớn hơn 5=> p là số lẻ

+ Mặt khác: p4-1-(p-1)(p+1)(p2+1)

=> (p-1) và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1)(p+1) chia hết cho 8

+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ => p2+1 chia hết cho 2

p > 5 nên p có dạng

+ p-3k+1 => p-1-3k+1-1-3k chia hết cho 3 =>p4 - 1 chia hết cho 3

..............................

Tương tự ta cũng có q4 - 1 chia hết cho 240 .

Vậy (p4-1)-(q4-1) = p4 - q4 cho 240