\(\Delta'=m^2-2m+3=\left(m-1\right)^2+2>0\) ; \(\forall m\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

a/ \(m=4\to x^2-8x+7=0\\\leftrightarrow x^2-7x-x+7=0\\\leftrightarrow x(x-7)-(x-7)=0\\\leftrightarrow (x-1)(x-7)=0\\\leftrightarrow x-1=0\quad or\quad x-7=0\\\leftrightarrow x=1\quad or\quad x=7\)

b/ Pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\to \Delta=(-2m)^2-4.1.(2m-1)=4m^2-8m+4=4(m^2-2m+1)=4(m-1)^2\ge 0\)

\(\to m\in \mathbb R\)

c/ Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}\)

Tổng bình phương các nghiệm là 10

\(\to x_1^2+x_2^2\\=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m)^2-2.(2m-1)=4m^2-4m+2\)

\(\to 4m^2-4m+2=10\)

\(\leftrightarrow 4m^2-4m-8=0\)

\(\leftrightarrow m^2-m-2=0\)

\(\leftrightarrow m^2-2m+m-2=0\)

\(\leftrightarrow m(m-2)+(m-2)=0\)

\(\leftrightarrow (m+1)(m-2)=0\)

\(\leftrightarrow m+1=0\quad or\quad m-2=0\)

\(\leftrightarrow m=-1(TM)\quad or\quad m=2(TM)\)

Vậy \(m\in\{-1;2\}\)

Tự Hỏi Tự Trả Lời

[x² - 2mx - 4(m²+1)].[x² - 4x - 2m(m²+1)] = 0 (1) 
pt (1) tương đương với tuyển hai pt: 
[x² - 2mx - 4(m²+1) = 0 (*) 
[x² - 4x - 2m(m²+1) = 0 (**) 
- - - 
∆' (*) = m² + 4(m²+1) = 5m² + 1 > 0 với mọi m => (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 
∆' (**) = 4 + 2m(m²+1) = 2(m+1)(m² - m + 2) 
Thấy m² - m + 2 = (m - 1/2)² + 7/4 > 0 với mọi m 
=> (**) có nghiệm khi và chỉ khi ∆'(**) ≥ 0 <=> m+1 ≥ 0 <=> m ≥ -1 
- - - 
Trước tiên ta xét trường hợp (*) và (**) có nghiệm chung khi đó ta có hệ: 
{x² - 2mx - 4(m²+1) = 0 (1*) 
{x² - 4x - 2m(m²+1) = 0 (2*) 
trừ vế ta được: (2m-4)x - 2m(m²+1) + 4(m²+1) = 0 
<=> (m-2)x - (m-2)(m²+1) = 0 
nếu m = 2, khi đó cả hai pt (1*) và (2*) thành x² - 4x - 20 = 0 
chứng tỏ (*) và (**) trùng nhau nên (1) chỉ có 2 nghiệm, không thỏa yêu cầu 
Vậy m # 2, từ trên => x = m²+1 ; thay vào (1*) ta có: (m²+1)² - 2m(m²+1) - 4(m²+1) = 0 
<=> m²+1 - 2m - 4 = 0 (do m²+1 > 0 ) <=> m² - 2m - 3 = 0 <=> m = -1 hoặc m = 3 
- - - các bước chhuẩn bị đã xong, giờ thì bắn thôi - - - 
(1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có nghiệm kép khác với hai nghiệm của (*), hoặc (**) có hai nghiệm pb trong đó có một nghiệm trùng với một nghiệm của (*) 
* TH1: (**) có nghiệm kép khi và chỉ khi m = -1 , nhưng khi đó 
(*) và (**) lại có nghiệm chung tức nghkép này đã bị trùng với nghiệm của (*) 
=> (1) có 2 nghiệm - không thỏa 
* TH2: (**) có hai nghiệm pbiệt, trong đó 1 nghiệm trùng với nghiệm của (*) 
=> ta phải có: m > -1 và m = -1 hoặc m = 3 => m = 3 

**Đảo lại khi m = 3: (*) có nghiệm là x = -4 ; x = 10; (**) có 
nghiệm là: x = -6 ; x = 10 
=> (1) có đúng 3 nghiệm là x = -6; x = -4 ; x = 10 

Tóm lại: ta chọn được m = 3 

Tk cho  mk, mk tk lại

ĐK:`x_1,x_2 ne 0=>x_1.x_2 ne 0`

`=>-2m-1 ne 0=>m ne -1/2`

Ta có:`a=1,b=2m,c=-2m-1`

`=>a+b+c=1+2m-2m-1=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2m-1\end{array} \right.\) 

PT có 2 nghiệm pn

`=>-2m-1 ne 1`

`=>-2m ne 2`

`=>m ne -1`

Nếu `x_1=1,x_2=-2m-1`

`pt<=>6=1+1/(-2m-1)`

`<=>5=1/(-2m-1)`

`<=>2m+1=-1/5`

`<=>2m=-6/5`

`<=>m=-3/5(tm)`

Nếu `x_2=1,x_1=-2m-1`

`pt<=>6/(-2m-1)=-2m-1+1=-2m`

`<=>6/(2m+1)=2m`

`<=>3/(2m+1)=m`

`<=>2m^2+m-3=0`

`a+b+c=0`

`=>m_1=1(tm),m_2=-c/a=-3/2(tm)`

Vậy `m in {-3/5,1,-3/2}` thì ....

Bài toán bạn định hỏi, theo tác giả nói, có đúng 3 nghiệm phân biệt. 
Để phương trình \(x^2-2mx-4\left(m^2+1\right)=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt (vì \(\Delta^'=m^2+4\left(m^2+1\right)=5m^2+4>0.\))

Xét phương trình thứ hai  \(x^2-4x-2m\left(m^2+1\right)=0\). Nếu phương trình này vô nghiệm thì pt đã cho có tối đa 2 nghiệm, mâu thuẫn. Vậy phương trình thứ 2 có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt.

Xét trường hợp phương trình thứ hai có nghiệm kép, tức 
\(4+2m^3+2m=0\to m^3+m+2=0\to\left(m+1\right)\left(m^2-m+2\right)=0\)
Do đó \(m=-1.\)  Thử lại, không thoả mãn vì phương trình đầu có nghiệm x=2.

Nếu phương trình thứ hai có hai nghiệm phân biệt thì hai phương trình phải có nghiệm chung là \(x_0\), do đó 
\(x^2_0-4x_0-2m\left(m^2+1\right)=0\) và \(x_0^2-2mx_0-4\left(m^2+1\right)=0\). Trừ hai phương trình ta được \(\left(2m-4\right)x_0=\left(2m-4\right)\left(m^2+1\right)\). Do đó \(m=2\) hoặc \(x_0=m^2+1.\) Khi \(m=2\) thì hai phương trình trùng nhau nên phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt, loại. Giả sử \(x_0=m^2+1.\)Khi đó \(\left(m^2+1\right)^2-4\left(m^2+1\right)-2m\left(m^2+1\right)=0\to m^2+1-4-2m=0\)
\(m^2-2m-3=0\to m=-1,3.\)

Thử lại ta thấy \(m=-1,3\) đều thoả mãn.

 Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành:

\(t^2-2mt+2m-1=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-\left(2m-1\right)>0\\t_1+t_2=2m>0\\t_1t_2=2m-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m>0\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)