Gọi \(ƯCLN\left(2n+3,4n+1\right)=d\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(4n + 1− (4n + 6) = −5⋮d\)
Để 2n + 3 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau d = 1
Với 2n + 3 không chia hết cho 5 vì 2n + 3 có tận cùng khác 0 và 5.
2n có tận cùng khác 7 và 2; n có tận cùng khác 1 và 6
Với 4n + 1 không chia hết cho 5 vì 4n + 1 có tận cùng khác 0 và 5
4n có tận cùng khác 9 và 4, n có tận cùng khác 1 và 6
Vậy n có tận cùng khác 1 và 6.

4n+3 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau \(\Leftrightarrow\)n=1

b, Gọi d =  ƯCLN(4n+3;2n+3)

=> (4n+3) ⋮ d; 2(2n+3) ⋮ d

=> [(4n+6) – (4n+3)] ⋮ d

=> 3 ⋮ d => d = {1;3}

Nếu d = 3 thì (4n+3) ⋮ 3 => [3(n+1)+n] ⋮ 3 => n ⋮ 3 => n = 3k

Vậy để 4n+3 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 3k

Gọi d là ƯC (n + 1; 3n + 4) Nên ta có :

n + 1 ⋮ d và 3n + 4 ⋮ d

<=> 3 (n + 1) ⋮ d và 3n + 4 ⋮ d

<=> 3n + 3 ⋮ d và 3n + 4 ⋮ d

=> (3n + 4) - (3n + 3) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯC (n + 1; 3n + 4) = 1 nên n + 1 và 3n + 4 là NT cùng nhau ( dpcm )

Ý 2 tương tự

gọi ước chung lớn nhất của n+1 và 3n+4 là d 

ta có n+1 chia hết cho d => 3(n+1) chia hết cho d => 3n+ 3 chia  hết cho d

3n+4 chia hết cho d

=> 3n+4 - ( 3n + 3) chia hết cho d

=> 3n +4 - 3n - 3 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

vậy..............

gọi ước chung lớn nhất của ...............là d

ta có 2n + 3 chia hết cho d 

=> 2(2n+3) chia hết cho d 

=> 4n + 6 chia hết cho d

4n + 8 chia hết cho d

=> 4n + 8 - ( 4n + 6) chia hết cho d

=> 4n + 8 - 4n -6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d 

=> d = 1 hoặc d = 2

mà 2n +3 là số lẻ nên không chia hết cho 2 

=> d = 1

vậy ...........

Gọi ƯCLN (4n+3;5n+1) = d ( d thuộc N sao )

=> 4n+3 và 5n+1 đều chia hết cho d

=> 5.(4n+3) và 4.(5n+1) chia hết cho d

=> 20n+15 và 20n+4 đều chia hết cho d

=> 20n+15-(20n+4) chia hết cho d

=> 11 chia hết cho d

=> d thuộc {1;11}

Mà a và b ko phải 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau nên d khác 1

=> d = 11

=> ƯCLN (a,b) =11

Tk mk nha

Ta có; 4n+3=> 5.[4n+3]=>20n+15                                                             Gọi UCLN(a, b) là d

           5n+1=>4.[5n+1]=> 20n+4

=>d= [20n+15 ] - [  20n+4] chia hết cho 11

=>d=11 [ vì a,b là 2 số thuộc N ko nguyên tố cùng nhau]

Ta thấy 

3 ; 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Khi cộng vào 2n và 4n thì cũng sẽ có 2n và 4n không cùng chia hết cho bất cứ số nào nên UCLN là 1 .

Các số có ước chung lớn nhất là 1 thì là số nguyên tố . 

Ta thấy 

3 ; 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Khi cộng vào 2n và 4n thì cũng sẽ có 2n và 4n không cùng chia hết cho bất cứ số nào nên UCLN là 1 .

Các số có ước chung lớn nhất là 1 thì là số nguyên tố . 

gọi d là ƯCLN(n+1;4n+3).theo bài ra ta có:

n+1 chia hết cho d

=>4(n+1) chia hết cho d

=>4n+4 chia hết cho d

=>4n+4-4n-3=1 chia hết cho d

=>d=1

=>n+1;4n+3 nguyên tố cùng nhau

=>đpcm

Gọi d là ƯCLN(n+1;4n+3).theo bài ra ta có:

n+1 chia hết cho d

=>4(n+1) chia hết cho d

=>4n+4 chia hết cho d

=>4n+4-4n-3=1 chia hết cho d

=>d=1

=>n+1;4n+3 nguyên tố cùng nhau

=>đpcm