Đề sai tại vì:

Ta thấy từ: \(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{99}\) mỗi số hạng đều lớn hơn \(\frac{1}{100}\)

Mà tổng trên có : ( 100 - 51 ) + 1 = 50 ( số hạng )

Nên:

\(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}.50=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\)

Vậy : \(A>\frac{1}{2}\)

Từ 50 đến 99 có 50 số; ta cho tất cả các phân số đó về 1/100; ta có 50/100 = 1/2; còn dư một số phần chênh giữa 1/100 va các phân số đó.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/99 - 1/100

= (1 + 1/3 +...+ 1/99) - (1/2 + 1/4 +...+ 1/100)

= (1+1/2+1/3+...+1/100) - 2(1/2+1/4+...+1/100)

= (1+1/2+1/3+...+1/100) - (1+1/2+...+1/50)

= 1/51+1/52+...+1/100 (đpcm)

Bạn đã được chuyển khoản số tiền 1.000.000.000 VND 

1/

Gọi d là ước của n+3 và 2n+5 nên

\(n+3⋮d\Rightarrow2n+6⋮d\)

\(2n+5⋮d\)

\(\Rightarrow2n+6-\left(2n+5\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> n+3 và 2n+5 nguyên tố cùng nhau

2/

\(5A=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{100}\)

\(4A=5A-A=5^{100}-1\Rightarrow4A+1=5^{100}=\left(5^{50}\right)^2\) LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

3/

Tích của 2 số chẵn liên tiếp là

\(2n.\left(2n+2\right)=4n^2+4n=4n\left(n+1\right)\)

Ta có 

\(n\left(n+1\right)\) Là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp và là số chẵn

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)=2k\)

\(\Rightarrow4n\left(n+1\right)=4.2k=8k⋮8\)

giúp mình vs mình đang cần gấp T-T

Đặt \(A=1+5+5^2+5^3+...+5^{402}+5^{403}+5^{404}\)

\(\Rightarrow A=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+...+\left(5^{399}+5^{400}+5^{401}\right)+\left(5^{402}+5^{403}+5^{404}\right)\)

\(\Rightarrow A=31.1+31.5^3+...+31.5^{402}\)

\(\Rightarrow A=31\left(1+5^3+5^6+...+5^{402}\right)\)

\(\Rightarrow A⋮31\left(đpcm\right)\)