Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)

\(\Rightarrow T\ge1\)

Bài 2:

[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam

bạn Kiệt có đánh sai chỗ nào ko vậy :)). mình thấy có 1 lỗi :)).

Đặt \(a=2x+y;b=2y+x\) \(\left(a,b>0\right)\)

Khi đó : \(P=\frac{2}{\sqrt{a^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^3+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)

Cô-si , ta có : \(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\frac{a+1+a^2-a+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^3+1}-1\le\frac{a^2}{2}\)

Tương tự : \(\sqrt{b^3+1}-1\le\frac{b^2}{2}\)

Mặt khác : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{8}{a+b}\Rightarrow-\frac{8}{a+b}\ge\frac{-2}{a}-\frac{2}{b}\)

\(P\ge\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\left(\frac{4}{a^2}+1\right)+\left(\frac{4}{b^2}+1\right)+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2\)

\(\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{ab}{4}-2\ge3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{2}{b}.\frac{ab}{4}}-2=1\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}\)

Mình nghĩ đề sửa là:

Cho các số x,y nguyên. Tìm GTM của biểu thức

\(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^3+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(x+2y\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)

Cách làm giống @Thanh Tùng DZ@ nên không trình bày lại

Ta có :

\(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{2y}{x}\right)^3}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\frac{\left(1+\frac{2y}{x}\right)+\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}{2}}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{2+\frac{4y^2}{x^2}}=\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)

VÀ

\(B=\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{x}{y}+1\right)^3}}\)

\(\Rightarrow B=\frac{2}{\sqrt{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{2}{\frac{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]+\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}{2}}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)

Suy ra :

\(P=A+B\ge\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)

"=" khi \(x=y\)

lô bn xàm lồn

bn trẩu , m phải ARMY hơm 

nếu phải thì nhục quá trời,tự nhiên fan BTS lại chưa con phò như mài ,u hú hú

bớt sàm lại đuy,ko thì đừng làm AMI nx,ư~~

cau nay kho qua, ai giup voi

thay vô P 

thay vô P