Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a) \(\frac{n+1}{2n+3}\)
b) \(\frac{2n+3}{4n+8}\)
Hướng làm thôi nhé.
a) 2n+2 với 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau => n+1 cũng nguyên tố cùng nhau với 2n+3
b) Do 2n+3 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau và 2n+3 không chia hết cho 2 nên 2n+3 và 4n+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Nguyễn Như Nam ơi thật ra tớ chẳng hiểu cậu nói gì
Ặc..... =.=
Để chị nói rõ cho ..... học lớp 7 mà *oai*
a) Theo đề ra, ta có: \(\frac{n+1}{2n+3}\) ...... Nếu n+1 và 2n+3 là phân số tối giản thì 2 số này nguyên tố cùng nhau.....
Nhân 2 với phân số, ta có: \(\frac{2n+2}{2n+3}\)...... Ta thấy do n là sô tự nhiên nên 2n+2 và 2n+3 là 2 số liên tiếp nên 2 số này nguyên tố cùng nhau nên \(\frac{2n+2}{2n+3}\) là phân số tối giản nên nên số kia cũng tối giản dó 2n+2=2(n+1) ......
P/s: Em thấy á..... cái phân số khi được nhân 2 thì được tạo thêm cơ hội là một phân số không tối giản nhưng nó vẫn tối giản nên cái phân số đầu là tối giản.
b) Tương tự nhưng là ở phần tử số ....
18. Chứng minh rằng các phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n:
a) \(\dfrac{n+1}{2n+3}\)
b) \(\dfrac{2n+3}{4n+8}\)
c) \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\)
Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*)
\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)
Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)
\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)
Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Mà 2n+3 là số lẻ nên
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
Chứng tỏ rằng các phân số tối giản sau với mọi số tự nhiên N.
a. \(\frac{n+1}{2n=3}\) b. \(\frac{2n+3}{4n+8}\)
a) Gọi d = ƯCLN(n+1; 2n+3) (d thuộc N*)
=> n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2.(n + 1) chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2n + 2 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d
=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
Mà d thuộc N* => d = 1
=> ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1
=> n + 1 và 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Câu b lm tương tự
chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :
a) \(\frac{n+1}{2n+3}\)
b) \(\frac{2n+3}{4n+8}\)
a) Đặt ƯCLN(n+1; 2n+3) = d
=> (2n + 3) - (n + 1) chia hết cho d
=> (2n + 3) - [2.(n + 1)] chia hết cho d
=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d => d = 1
Do ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1 nên \(\frac{n+1}{2n+3}\) tối giản
b) Đặt ƯCLN(2n+3; 4n+8) = d
=> (4n + 8) - (2n + 3) chia hết cho d
=> (4n + 8) - [2.(2n + 3)] chia hết cho d
=> (4n + 8) - (4n + 6) chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d => d \(\in\) {1; 2}
Nhưng d khác 2 vì d là ước chung của 2 số lẻ nên d = 1
Do ƯCLN(2n+3; 4n+8) = 1 nên \(\frac{2n+3}{4n+8}\) tối giản
a) \(\frac{n+1}{2n+3}\)
Đặt ƯCLN(n+1; 2n+3) = d
=> n + 1 \(⋮d\) và 2n + 3 \(⋮d\)
=> (2n + 3) - (n + 1) \(⋮d\)
=> (2n + 3) - [2.(n + 1)] \(⋮d\)
=> (2n + 3) - (2n + 2) \(⋮d\)
=> 1 \(⋮d\)
=> d = 1
Do ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1 nên phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) tối giản
b) \(\frac{2n+3}{4n+8}\)
Đặt ƯCLN(2n+3;4n+8) = d
=> 2n+3 \(⋮d\) và 4n+8\(⋮d\)
=> (4n + 8) - (2n + 3) \(⋮d\)
=> (4n + 8) - [2.(2n + 3)] \(⋮d\)
=> (4n + 8) - (4n + 6) \(⋮d\)
=> 2 chia hết cho d
=> d ∈ ∈ {1; 2}
Vì 2n + 3 là số lẻ, 4n + 8 là số chẵn nên ƯC(2n+3;4n+8) là 1 số lẻ
=> \(d\ne2\Rightarrow d=1\)
Do ƯCLN(2n+3; 4n+8) = 1 nên phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\) tối giản
chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
Gợi Ư CLN\(\left(2n+3;4n+8\right)=d\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\Rightarrow2.\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=1;2\)
\(+d=2\Rightarrow2n+3⋮2\)
Mak 2n+3 ko chia hết cho 2
\(\Rightarrow d\ne2\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chứng tỏ rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
Giả sử phân số sau chưa tối giản
\(\Rightarrow2n+3⋮d;4n+8⋮d\left(d\in N;d>1\right)\)
\(2n+3⋮d\Rightarrow4n+6⋮d\)
\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
Vậy d có thể = 2
Vậy p/s sau vẫn có thể tối giản đc
Giả sử ƯCLN (2n+3;4n+8)=d
\(\Rightarrow4n+8⋮d\)mà\(4n+8=2\left(2n+4\right)\)\(\Rightarrow2n+4⋮d\)
\(\Rightarrow d=2n+4-\left(2n+3\right)\)\(=2n+4-2n-3\)\(=1\)
Do d=1 thì \(\frac{2n+3}{4n+8}\)là số tối giản với bất kì số tư nhiên n
Chú bạn hok tốt
Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :
a)\(\frac{n+2}{n+3}\)
b)\(\frac{n+1}{2n+3}\)
c)\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
a, \(\frac{n+2}{n+3}\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(n+2,n+3\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\n+3⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(n+3\right)-\left(n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy phân số \(\frac{n+2}{n+3}\)là p/số tối giản
b, \(\frac{n+1}{2n+3}\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1,2n+3\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy...
c, \(\frac{2n+3}{4n+8}\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+3,4n+8\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
Nhưng 2n + 3 là số lẻ \(\Rightarrow\)d cũng là số lẻ
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy....
Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi n tự nhiên:
\(\frac{n+1}{2n+3}\) \(\frac{2n+1}{3n+2}\)\(\frac{n}{n+1}\)\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
\(\frac{n+1}{2n+3}\)
Gọi ƯCLN(n + 1, 2n + 3) là a
Ta có:
n + 1\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)2(n + 1)\(⋮\)a
\(\Leftrightarrow\)2n + 2\(⋮\)a
2n + 3\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)(2n + 3) - (2n + 2)\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)1\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)a = 1
\(\frac{2n+1}{3n+2}\)
Gọi ƯCLN(2n + 1, 3n + 2) là b
Ta có:
2n + 1\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)3.(2n + 1)\(⋮\)b
\(\Leftrightarrow\)6n + 3\(⋮\)b (1)
3n + 2\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)2.(3n + 2)\(⋮\)b
\(\Leftrightarrow\)6n + 4\(⋮\)b (2)
Từ (1), (2) ta có:
(6n + 4) - (6n + 3)\(⋮\)b
\(\Leftrightarrow\)1\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)b = 1
Vậy ƯCLN(2n + 1, 3n + 2) là 1
\(\Rightarrow\)Phân số tối giản
Chứng tỏ rằng các phân sô sau tối giản với mọi phân số:
\(A,\frac{n+1}{2n+3}\)\(B,\frac{2n+3}{4n+8}\)
a) Vì phân số n+1/2n+3 tối giản với mọi phân số nên ƯCLN(n+1; 2n+3) =1. Gọi ƯCLN(n+1; 2n+3) = d
=> n+1 \(⋮\)d
2n+3 \(⋮\)d
=> 2(n+1) \(⋮\)d
2n+ 3 \(⋮\)d
=> 2n+2 \(⋮\)d
2n+3 \(⋮\)d
=> 2n+3 - 2n -2 \(⋮\)d
=> 1 \(⋮\)d
=> d =1
Vì d= 1 nên phân số n+1/2n+3 là phân số tối giản
Phần b cũng thế nha
Gọi ƯCLN(n + 1 ; 2n + 3) = d
=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d}\)
=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản
b Gọi ƯCLN(2n + 3 ; 4n + 8) = d
=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d}\)
=> \(2⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Vì \(2n+3\)là số lẻ với mọi n nguyên
=> 2n + 3 không chia hết cho 2
=> \(d\ne2\)=> d = 1
Khi d = 1 , 2n + 3 ; 4n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> B là phân số tối giản
a) Gọi d là ƯC( n+1 ; 2n+3 )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(n+1;2n+3\right)=1\)
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản ( đpcm )
b) Gọi d là ƯC( 2n+3 ; 4n+8 )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=\left\{1;2\right\}\)
* \(d=2\Rightarrow2n+3⋮̸d̸\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+8}\)tối giản ( đpcm )