CHÚNG TA CÓ TỔNG CỘNG 7 SỐ DƯ

TA LẤY 100 ĐỒNG DƯ VS 2 (MOD 7)MÀ 100/7=14(DƯ 2)

=>CHẮC CHẮN 2 SỐ ĐÓ SẼ CÙNG SỐ DƯ VS 14 SỐ TRONG CÁC SỐ DƯ

Ta chia 100 số tự nhiên đã cho thành 7 nhóm tương ứng chia hết cho 7, chia cho 7 dư 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Ta có: 14.7 = 98 < 100 nên sẽ có ít nhất một nhóm có số phần tử trong đó ít nhất là 15. 

Chọn nhóm đó thì ta có đpcm. (do các số trong nhóm đó có cùng số dư khi chia cho 7 nên hiệu 2 số bất kì chia hết cho 7) 

Ta biết rằng các số dư trong phép chia cho 7 thường nhận nhiều nhất là 7 giá trị.

Vì \(100=7.14+2\) nên bao giờ cũng chọn được 15 số mà hiệu hiệu của 2 số bật kì trong 15 số ấy chia hết cho 7

Ta lấy 15 số đó chia cho 7 sẽ được các 7 loại số dư từ 0 đến 6

Ta có: 15:7=2 dư 1

Theo nguyên lí Điriclet sẽ có 2 số cùng số dư khi chia cho 7

=> hiệu  2 số sẽ chia hết cho 7

Vậy điều trên là đúng 

Có 5 số, và 3 số dư khi chia cho 3 là 0;1;2 
Nếu có 3,4 hay 5 số mà có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 trong số đó chia hết cho 3. 
Nếu có ít hơn 3 nghĩa là nhiều nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì trong 5 số đó cùng tồn tại các số chia 3 dư 0;1;2 nên tổng 3 số có số dư khi chia cho 3 khác nhau sẽ chia hết cho 3. 
Do đó trong 5 số nguyên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.