a và a + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp, mà hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau => là ps tối giản.

C/m

a/a+1 là phân số tối giản khi UCLN(a, a + 1) = d

a chia hết cho d

a + 1 chia hết cho d

=>   a + 1 - a chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

UCLN(a , a +1) = 1

=> là phân số tối giản

Câu 1:

gọi n-1/n-2 là M.

Để M là phân số tối giản thì ƯCLN (n - 1; n - 2) = 1 hay -1

Theo đề bài: M = n−1n−2n−1n−2 (n ∈∈Zℤ; n ≠2≠2)

Gọi d = ƯCLN (n - 1; n - 2) 

=> n - 1 - (n - 2) ⋮⋮d       *n - 1 - (n - 2) = n - 1 - n + 2 = n - n + 2 - 1 = 0 + 2 - 1 = 2 - 1 = 1

=> 1 ⋮⋮d

=> d ∈∈Ư (1)

Ư (1) = {1}

=> d = 1

Mà ngay từ lúc đầu d phải bằng 1 rồi.

Vậy nên với mọi n ∈∈Z và n ≠2≠2thì M là phân số tối giản.

Gọi UCLN(a²+a-1;a²+a+1)=d

Ta có:a²+a-1 chia hết cho d

         a²+a+1 chia hết cho d

=>(a²+a+1)-(a²+a-1) chia hết cho d

=>2 chia hết cho d

=>d\(\in\)Ư(2)={1,2}

Mà a²+a+1=a.(a+1)+1 là số lẻ nên không chia hết cho 2

Do đó d=1

Vậy \(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\) tối giản

a) Đặt \(d=\left(n+1,2n+3\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)=1⋮d\)

Suy ra \(d=1\). 

Do đó ta có đpcm. 

b) Bạn làm tương tự ý a). 

c) Đặt \(d=\left(3n+2,5n+3\right)\).

Ta có: \(\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(5n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow5\left(3n+2\right)-3\left(5n+3\right)=1⋮d\).

Suy ra \(d=1\).