\(\overrightarrow{BC}=\left(16;4\right)=4\left(4;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Phương trình đường cao xuất phát từ A và vuông góc BC:

\(4\left(x-3\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow4x+y-14=0\)

Pt đường cao xuất phát từ B:

\(1\left(x+11\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y+11=0\)

Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+y-14=0\\x+y+11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\dfrac{25}{3};-\dfrac{58}{3}\right)\)

Lời giải:

Nếu bạn có $\overrightarrow{a}(x_1,y_1);\overrightarrow{b}(x_2,y_2)$ thì:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$

Áp dụng vào bài toán:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1(-2)+3.1=-2+3=1$

\(S_{ABN}=3S_{ANC}\) , mà \(S_{ABN}+S_{ANC}=S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ANC}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\Rightarrow\overrightarrow{NC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

Gọi \(N\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{NC}=\left(-1-x;-2-y\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-3;-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1-x=-\dfrac{3}{4}\\-2-y=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{4}\\y=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-\dfrac{1}{4};-\dfrac{3}{4}\right)\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow x+3y+1=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến nói trên thì \(M'\in d'\) với d' là ảnh của d

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+3\\y'=y-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-3\\y=y'+2\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(x'-3+3\left(y'+2\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x'+3y'+4=0\)

Vậy pt ảnh có dạng \(x+3y+4=0\)

Hai đường thẳng đã cho song song khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=1\\3m+2\ne5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\pm1\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=-1\)